Les moyennes Comparaison de la plus petite à la plus grande.

Les moyennes de la plus petite à la plus grande. a et b sont deux réels non nuls et de même signe. On définit : • le nombre m tel que:m =(a+b)/2, qui est la moyenne arithmétique de a et b ; • le nombre n tel que: qui est…

Examen Olympiade Math Débutant 04

olympiade de Mathématiques ( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges) Olympiade de Maths, c'est une gymnastique de l'esprit, Ce qu'il faut  c'est 4math.net et beaucoup de pratiques 4math.net Le première clé pour être bon en maths

Examen Olympiade Math Débutant 03

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Examen Olympiade Math Débutant 02

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Examen Olympiade Math Débutant 01

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Olympiade Math Préparatoire 03

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Olympiade Math – Algèbre 02

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 39

Trouver tous les couples (x, y) de nombres entiers relatifs Tels que : y=2x²+5xy+3y² Solution: y=2x²+5xy+3y² ⇔4x²+10xy+6y²-2y=0 ⇔(2x)²+2(2x)(5/2 y)+(5/2 y)²-(5/2 y)²+6y²-2y=0 ⇔(2x+5/2 y)²-(5/2 y)²+6y²-2y=0 ⇔(2x+5/2 y)²-1/4 y²-2y=0 ⇔(4x+5y)²-y²-8y=0 ⇔(4x+5y)²-(y²+8y+16)+16=0 ⇔(4x+5y)²-(y+4)²=16 ⇔(4x+5y-y-4)(4x+5y+y+4)=-16 ⇔(4x+4y-4)(4x+6y+4)=-16 ⇔(x+y-1)(2x+3y+2)=-2 on pose x+y-1=a (1) & 2x+3y+2=b (2) on a: ab=-2 (a,b) ∈{(1,-2);(-1,2);(2,-1);(-2,1)} 3(1)-(2): ⇒3x+3y-3-2x-3y-2=3a-b ⇒x=3a-b+5 (3) ⇒y=a+1-x Donc:…
Olympiade Math - Algèbre

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 38

[caption id="attachment_1871" align="alignnone" width="1080"] Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 38[/caption] Les nombres réels x₁,x₂,x₃ sont solutions de l’équation : x³-3x²+(a+2)x-a=0 avec a∊IR & (x₁<x₂<x₃). Trouver toutes les valeurs possibles de l’expression: 4x₁-x₁²+x₃² Solution: on pose: p(x)=x³-3x²+(a+2)x-a on a: p(1)=0 le nombre 1 est une racine du polynôme p(x)…

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 37

Déterminer toutes les nombres réels x , y et z qui vérifiant le système (S) d’équations suivant :\(\left\{\begin{array}{l}x²-4y+7=0 \\ y²-6z+14=0 \\ z²-2x-7=0\end{array}\right.\)     Solution:(S)⇒(x²-4y+7)+(y²-6z+14)+(z²-2x-7)=0⇒x²-2x+1+6+y²-4y+4+10+z²-6z+9-9-7=0⇒(x-1)²+(y-2)²+(z-3)²=0⇒x-1 & y-2=0 & z-3=0⇒x=1 & y=2 & z=3. 
Olympiade Math Algèbre

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 36

Soient x et y deux nombres réels strictement positifs Tels que: x+y+xy=3.Montrer que: x+y≥2.Pour quels valeurs de x et y on a l’égalité: x+y=2? Solution:On a: (x-y)²≥0⇒x²+y²≥2xy⇒(x+y)²≥4xyd’autre part:x+y+xy=3⇒xy=3-x-y.d'où(x+y)²≥4(3-x-y)⇒(x+y)²+4(x+y)≥12⇒(x+y)²+4(x+y)+4≥16⇒(x+y+2)²≥16or on a x>0 et y>0alors x+y+2≥4donc: x+y≥2Si on a l’égalité: x+y= 2x+y+xy=3⇒2+xy=3⇒xy=1⇒x(2-x)=1⇒x²-2x+1=0⇒(x-1)²=1⇒x=1donc x=y=1. réciproquementsi x=y=1⇒x+y=2 et x+y+xy=3. On a: (x-y)²≥0 ⇒x²+y²≥2xy ⇒(x+y)²≥4xy…