Catégorie : Olympiade

Les moyennes de la plus petite à la plus grande. a et b sont deux réels non nuls et de même signe. On définit : • le nombre m tel que:m =(a+b)/2, qui est la moyenne arithmétique de a et b ; • le nombre n tel que: qui est…

olympiade de Mathématiques ( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges) Olympiade de Maths, c'est une gymnastique de l'esprit, Ce qu'il faut  c'est 4math.net et beaucoup de pratiques 4math.net Le première clé pour être bon en maths

Olympiade de Mathématiques ( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges) Olympiade de Maths, c'est une gymnastique de l'esprit, Ce qu'il faut  c'est 4math.net et beaucoup de pratiques 4math.net Le première clé pour être bon en maths

Olympiade de Mathématiques ( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges) Olympiade de Maths, c'est une gymnastique de l'esprit, Ce qu'il faut c'est 4math.net et beaucoup de pratiques 4math.net Le première clé pour être bon en maths

Olympiade de Mathématiques ( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges) Olympiade de Maths, c'est une gymnastique de l'esprit, Ce qu'il faut  c'est 4math.net et beaucoup de pratiques 4math.net Le première clé pour être bon en maths

Olympiade de Mathématique Préparatoire ( destinée aux élèves des collèges) Olympiade de Maths, c'est une gymnastique de l'esprit, Ce qu'il faut c'est 4math.net et beaucoup de pratiques 4math.net Le première clé pour être bon en maths

Trouver tous les couples (x, y) de nombres entiers relatifs Tels que : y=2x²+5xy+3y² Solution: y=2x²+5xy+3y² ⇔4x²+10xy+6y²-2y=0 ⇔(2x)²+2(2x)(5/2 y)+(5/2 y)²-(5/2 y)²+6y²-2y=0 ⇔(2x+5/2 y)²-(5/2 y)²+6y²-2y=0 ⇔(2x+5/2 y)²-1/4 y²-2y=0 ⇔(4x+5y)²-y²-8y=0 ⇔(4x+5y)²-(y²+8y+16)+16=0 ⇔(4x+5y)²-(y+4)²=16 ⇔(4x+5y-y-4)(4x+5y+y+4)=-16 ⇔(4x+4y-4)(4x+6y+4)=-16 ⇔(x+y-1)(2x+3y+2)=-2 on pose x+y-1=a (1) & 2x+3y+2=b (2) on a: ab=-2 (a,b) ∈{(1,-2);(-1,2);(2,-1);(-2,1)} 3(1)-(2): ⇒3x+3y-3-2x-3y-2=3a-b ⇒x=3a-b+5 (3) ⇒y=a+1-x Donc:…

[caption id="attachment_1871" align="alignnone" width="1080"] Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 38[/caption] Les nombres réels x₁,x₂,x₃ sont solutions de l’équation : x³-3x²+(a+2)x-a=0 avec a∊IR & (x₁<x₂<x₃). Trouver toutes les valeurs possibles de l’expression: 4x₁-x₁²+x₃² Solution: on pose: p(x)=x³-3x²+(a+2)x-a on a: p(1)=0 le nombre 1 est une racine du polynôme p(x)…

Déterminer toutes les nombres réels x , y et z qui vérifiant le système (S) d’équations suivant :\(\left\{\begin{array}{l}x²-4y+7=0 \\ y²-6z+14=0 \\ z²-2x-7=0\end{array}\right.\)     Solution:(S)⇒(x²-4y+7)+(y²-6z+14)+(z²-2x-7)=0⇒x²-2x+1+6+y²-4y+4+10+z²-6z+9-9-7=0⇒(x-1)²+(y-2)²+(z-3)²=0⇒x-1 & y-2=0 & z-3=0⇒x=1 & y=2 & z=3. 

Soient x et y deux nombres réels strictement positifs Tels que: x+y+xy=3.Montrer que: x+y≥2.Pour quels valeurs de x et y on a l’égalité: x+y=2? Solution:On a: (x-y)²≥0⇒x²+y²≥2xy⇒(x+y)²≥4xyd’autre part:x+y+xy=3⇒xy=3-x-y.d'où(x+y)²≥4(3-x-y)⇒(x+y)²+4(x+y)≥12⇒(x+y)²+4(x+y)+4≥16⇒(x+y+2)²≥16or on a x>0 et y>0alors x+y+2≥4donc: x+y≥2Si on a l’égalité: x+y= 2x+y+xy=3⇒2+xy=3⇒xy=1⇒x(2-x)=1⇒x²-2x+1=0⇒(x-1)²=1⇒x=1donc x=y=1. réciproquementsi x=y=1⇒x+y=2 et x+y+xy=3. On a: (x-y)²≥0 ⇒x²+y²≥2xy ⇒(x+y)²≥4xy…