Olympiade Math – Algèbre 02

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 39

Trouver tous les couples (x, y) de nombres entiers relatifs Tels que : y=2x²+5xy+3y² Solution: y=2x²+5xy+3y² ⇔4x²+10xy+6y²-2y=0 ⇔(2x)²+2(2x)(5/2 y)+(5/2 y)²-(5/2 y)²+6y²-2y=0 ⇔(2x+5/2 y)²-(5/2 y)²+6y²-2y=0 ⇔(2x+5/2 y)²-1/4 y²-2y=0 ⇔(4x+5y)²-y²-8y=0 ⇔(4x+5y)²-(y²+8y+16)+16=0 ⇔(4x+5y)²-(y+4)²=16 ⇔(4x+5y-y-4)(4x+5y+y+4)=-16 ⇔(4x+4y-4)(4x+6y+4)=-16 ⇔(x+y-1)(2x+3y+2)=-2 on pose x+y-1=a (1) & 2x+3y+2=b (2) on a: ab=-2 (a,b) ∈{(1,-2);(-1,2);(2,-1);(-2,1)} 3(1)-(2): ⇒3x+3y-3-2x-3y-2=3a-b ⇒x=3a-b+5 (3) ⇒y=a+1-x Donc:…
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Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 38

[caption id="attachment_1871" align="alignnone" width="1080"] Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 38[/caption] Les nombres réels x₁,x₂,x₃ sont solutions de l’équation : x³-3x²+(a+2)x-a=0 avec a∊IR & (x₁<x₂<x₃). Trouver toutes les valeurs possibles de l’expression: 4x₁-x₁²+x₃² Solution: on pose: p(x)=x³-3x²+(a+2)x-a on a: p(1)=0 le nombre 1 est une racine du polynôme p(x)…

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 37

Déterminer toutes les nombres réels x , y et z qui vérifiant le système (S) d’équations suivant :\(\left\{\begin{array}{l}x²-4y+7=0 \\ y²-6z+14=0 \\ z²-2x-7=0\end{array}\right.\)     Solution:(S)⇒(x²-4y+7)+(y²-6z+14)+(z²-2x-7)=0⇒x²-2x+1+6+y²-4y+4+10+z²-6z+9-9-7=0⇒(x-1)²+(y-2)²+(z-3)²=0⇒x-1 & y-2=0 & z-3=0⇒x=1 & y=2 & z=3. 
Olympiade Math Algèbre

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 36

Soient x et y deux nombres réels strictement positifs Tels que: x+y+xy=3.Montrer que: x+y≥2.Pour quels valeurs de x et y on a l’égalité: x+y=2? Solution:On a: (x-y)²≥0⇒x²+y²≥2xy⇒(x+y)²≥4xyd’autre part:x+y+xy=3⇒xy=3-x-y.d'où(x+y)²≥4(3-x-y)⇒(x+y)²+4(x+y)≥12⇒(x+y)²+4(x+y)+4≥16⇒(x+y+2)²≥16or on a x>0 et y>0alors x+y+2≥4donc: x+y≥2Si on a l’égalité: x+y= 2x+y+xy=3⇒2+xy=3⇒xy=1⇒x(2-x)=1⇒x²-2x+1=0⇒(x-1)²=1⇒x=1donc x=y=1. réciproquementsi x=y=1⇒x+y=2 et x+y+xy=3. On a: (x-y)²≥0 ⇒x²+y²≥2xy ⇒(x+y)²≥4xy…

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 35

Montrer que pour tout nombre réel a : a+a³-a⁴-a⁶<1 Voir Solution

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 34

Soit f le polynôme défini par: f(x)=x¹º+2x⁹-2x⁸-2x⁷+x⁶+3x²+6x+1 Calculer: Voir Solution On a: a²+2a=1 f(a)=a¹º+2a⁹-2a⁸-2a⁷+a⁶+3a²+6a+1 * a¹º+2a⁹=a⁸(a²+2a)=a⁸ * 3a²+6a+1=3(a²+2a)+1=4 f(a)=a⁸-2a⁸-2a⁷+a⁶+4 f(a)=-a⁶(a²+2a-1)+4 Donc  f(a)=4 Olympiade de Mathématique, c'est une gymnastique de l'esprit, Ce qu'il faut c'est 4 math .net et beaucoup de pratiques.                    …
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Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 33

[caption id="attachment_2029" align="alignnone" width="1080"] Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 33[/caption] Olympiade de Mathématique ( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges) Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.   Olympiade Math - Algèbre 02 - Exercice 33 a,b et c sont des réels positifstels que…
Olympiade Math - Algèbre

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 32

[caption id="attachment_2173" align="alignnone" width="1080"] Olympiade Math - Algèbre 02 - Ex 32[/caption] Olympiade de Mathématique( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.Olympiade Math - Algèbre 02 - Exercice 32 Soit x,y des réels, Tel que:\(\left\{\begin{array}{l} ax+by=3 \\ax²+by²=7 \\ ax³+by³=16\\ ax⁴+by⁴=42 \end{array}\right.\)Calculer…

Corrigés des olympiades mathématiques algèbre niv 02

Olympiade de Mathématique  ( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges) Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner. ♦️ Exercice 01 a, b, c, d quatre nombres réels tel que :  a + b + c + d = 4 Montrer que   ab + bc + cd…

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 31

 Olympiade de Mathématique( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.Olympiade Math - Algèbre 02 - Exercice 31Soit x,y,z des réels, Tel que: x, y, z> 0 & x≤2 & y≤3 & x+y+z=11Montrer que: xyz ≤36.  Solution * on aab ≤ ((a+b)/2)²((a+b)/2)² – ab…