Olympiade Math - Arithmétique

Olympiade Math – Arithmétique 01 – Ex 26

Montrer que: pour tout entier naturel n Tel que n≥2 on a: (n⁵-n) est divisible par 30. Solution Soit n∊ IN: on a n⁵ - n = (n-1) n (n + 1) (n² + 1)  * d'une part  6 divice  (n-1) n (n + 1) ① Parce qu'ils sont 3 numéros…
Olympiade Math Arithmétique

Olympiade Math – Arithmétique 01 – Ex 25

[caption id="attachment_1982" align="alignnone" width="1080"] Olympiade Math – Arithmétique 01 – Ex 25[/caption] Olympiade de Mathématique( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner. Résoudre dans IN² l'équation suivante:x²+y²-8x=8+2y Solution* On a: x²+y²-8x=8+2y x²-8x+16+y²-2y+1=8+1+16 (x-4)²+(y-1)²=25 ① 0≤y-1≤5 1≤y≤6 ➝ y=1,2,3,4,5,6   ① ⤵️ y=1 ➝ (x-4)²=25…

Olympiade Math – Arithmétique 01 – Ex 24

        Résoudre dans Z² l'équation suivante: 2x+3y=xy. Solution * On a: * On a:2x+3y=xy.xy-2x-3y+6-6=0 x(y-2)-3(y-2)=6 (x-3)(y-2)=6 (x-3) divise 6 & (y-2) divise 6* les diviseurs se 6 sont: 1,2,3,6,-1,-2,-3,-6..x-3=1 & y-2=6...x-3=-1 & y-2=-6Donc: (x,y)=(-3,1);(0,0);(1,-1);(2,-4);(5,5);(6,4);(9,3);(4,8) Olympiade de Mathématique, c'est une gymnastique de l'esprit, Ce qu'il faut c'est 4 math…
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Olympiade Math – Arithmétique 01 – Ex 23

[caption id="attachment_2112" align="alignnone" width="1080"] Olympiade Math - Arithmétique 01 - Ex 23[/caption] Trouver le nombre de diviseurs  de nombre: 36²⁰¹⁹+36²⁰²⁰. Solution On a: A=36²⁰¹⁹+36²⁰²⁰ A=6²ˣ²⁰¹⁹+6²ˣ²⁰²⁰ A=6²ˣ²⁰¹⁹(6²+1) A=37x6⁴⁰³⁸ A=37x3⁴⁰³⁸x2⁴⁰³⁸ Nombre de diviseur de 37: 2 Nombre de diviseur de 3⁴⁰³⁸: 4038+1 Nombre de diviseur de 2⁴⁰³⁸: 4038+1 Donc le nombre de diviseurs de nombre:…

Olympiade Math – Arithmétique 01 – Ex 22

Déterminer tous les couples (x,y) d'entiers naturels. Tel que: 3(x² + y²) -7(x + y) = -4. Solution On a: 3(x² + y²) -7(x + y) = -4 3x²-7x+3y²-7y=-4 ① utilisant  identité remarquable: ①x12 ➝ 36x²-84x+36y²-84y=-48 ➝ (6x)²-2x7x6x+7²-7²+(6y)²-2x7x6y+7²-7²=-48 ➝ (6x-7)²+(6y-7)²=-48+49+49 ➝ (6x-7)²+(6y-7)²=50 Décomposition 50  en somme de somme de deux carrés: 50=7²+1²=5²+5² * d'ou :…
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Olympiade Math – Arithmétique 01 – Ex 21

[caption id="attachment_2176" align="alignnone" width="1080"] Olympiade Math - Arithmétique 01 - Ex 21[/caption] Olympiade de Mathématique ( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges) Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner. Olympiade de Math - Arithmétique Niveaux 01 - Exercice 21 Considérons le nombre de quatre chiffres 5113; …

Olympiade Math – Arithmétique 01 – Ex 20

Olympiade de Mathématique ( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges) Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner. Olympiade de Math - Arithmétique Niveaux 01 - Exercice 20 Trouver tous les entiers positifs a et b, pour les quels  a⁴+4b⁴ est un nombre premier. Voir Solution * On…

Olympiade Math – Arithmétique 01 – Ex 19

Olympiade de Mathématique ( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges) Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner. Olympiade de Math - Arithmétique Niveaux 01 - Exercice 19 Combien de paires d'entiers positifs (a, b) satisfont: Voir solution * On a:  1/a+1/b=1/2019 ➝ 2019a+2019b=ab ➝ ab-2019a-2019b=0 ➝ a(b-2019)-2019b+2019²=2019² ➝ a(b-2019)-2019(b-2019)=2019²…

Olympiade Math – Arithmétique 01 – Ex 18

Olympiade de Mathématique ( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.Olympiade de Math - Arithmétique Niveaux 01 - Exercice 18 a,b et c trois entiers strictement positifs.Tel que: a+(b/c)=11 et b+(a/c)=14.  Trouver l'entier positif (a+b)/c. Voir solutionOn a: a+(b/c)=11 ➀ b+(a/c)=14 ② ➀+②↴ a+(b/c)+b+(a/c)=11+14 (a+b)+(a+b)/c=25 ③ * on pose: x=(a+b)/c (a+b)=cx ③…
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Olympiade Math – Arithmétique 01 – Ex 17

[caption id="attachment_2130" align="alignnone" width="1080"] Olympiade Math Arithmétique[/caption] Olympiade de Mathématique ( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner. Olympiade de Math - Arithmétique Niveaux 01 - Exercice 17 Déterminer les Deux derniers chiffres de: (1!+2!+3!+....+2019!) On pose: A=1!+2!+3!+....+2019!➝ A=1!+2!+3!+....9!+y avec y=10!+11!...+2019! on a:y=10!(1+11+11×12....+11×12...×2019)…