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Olympiade Math – Débutant – Algèbre 01

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ADVERTISEMENT Exercice 1: x,y,z trois nombres strictement positifs.Montrer que : (frac{x^2}{y}+frac{y^2}{z}+frac{z^2}{x} ≥ x+y+z). Réponse: On a: (x-y)²≥0d’ où: x²+y²≥2xyet par suite:(frac{x^{2}+y^{2}}{y} geq frac{2 x y}{y})(car: y>0)donc:(frac{x^{2}}{y}+y geq 2 x) ①de même pour:(frac{y^{2}}{z}+z geq 2 y) ②(frac{z^{2}}{x}+x geq 2 z) ③①+②+③on conclut que:(frac{x^{2}}{y}+y+frac{y^{2}}{z}+z+frac{z^{2}}{x}+x geq 2 x+2 y+2 z)Donc:(frac{x^{2}}{y}+frac{y^{2}}{z}+frac{z^{2}}{x} geq x+y+z) Exercice 2: x,y deux nombres strictement […]

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Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 61

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ADVERTISEMENT Calculer SS=101×10001×…×10…01chaque terme du produit à un nombre de 0sous la forme (2ⁿ – 1) avec n∈IN*et S contient 127 terme. Solution: On a:S=101x10001x…x10…01Terme 1: 101=10²+1Terme 2: 10001=10⁴+1..Terme 127: 10…01=10¹²⁸+1d’où:S=(10²+1)(10⁴+1)…(10¹²⁸+1)On va calculer(10²-1)xS=(10²-1)(10²+1)(10⁴+1)…(10¹²⁸+1)on a:(10²-1)(10²+1)=10⁴-1➝ (10²-1)xS=(10⁴-1)(10⁴+1)…(10¹²⁸+1)on a:(10⁴-1)(10⁴+1)=10⁸-1➝ (10²-1)xS=(10⁸+1)…(10¹²⁸+1)…(10²-1)xS=(10¹²⁸-1)(10¹²⁸+1)(10²-1)xS=(10²⁵⁶-1)99xS=99…99 ( terme contient 256 de “9”) 4 math .net Le première clé pour être bon en maths(compétition de […]

Olympiade Math Algèbre 01

Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 60

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ADVERTISEMENT Calculer (x)Tel que :(x^{sqrt{x}}=sqrt{x^{x}})   Solution: On a:(x^{x^{1 / 2}}=(x^{x})^{1 / 2})(x^{x^{1 / 2}}=x^{x / 2})(x^{1 / 2}=x / 2)x=x²/4x²-4x=0x(x-4)=0x=4 (car x>0) 4 math .net Le première clé pour être bon en maths(compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner ADVERTISEMENT

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Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 59

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ADVERTISEMENT Calculer L’entier relatif xTel que x=2n et (n^{x}=x^{n} ). On a x=2nd’oùnˣ=xⁿ ➝ n²ⁿ=(2n)ⁿ➝ n²ⁿ=2ⁿnⁿ➝ n²ⁿ⁻ⁿ=2ⁿ➝ nⁿ=2ⁿ➝ n=2 ou n=-2Donc x=4 ou x=-4 Solution: On a x=2nd’oùnˣ=xⁿ ➝ n²ⁿ=(2n)ⁿ➝ n²ⁿ=2ⁿ . nⁿ➝ n²ⁿ⁻ⁿ=2ⁿ➝ nⁿ=2ⁿ➝ n=2 ou n=-2Donc x=4 ou x=-4 4 math .net Le première clé pour être bon en maths(compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner ADVERTISEMENT

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Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 58

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ADVERTISEMENT Calculer n? Tel que: 1!×2!×3!×…×2019!×2020!=m²×n!Avec: p!=1×2×3×…p Solution: On a:1!×2!=1!×1!×2=(1!)²×23!×4!=3!×3!×4=(3!)²×4. .2019!×2020!=(2019!)²×2020d’ou:N=1!×2!×3!×…×2019!×2020!A=(1!)²×(3!)²×…×(2019!)²×2×4×…×2020A=(1!)²×(3!)²…(2019!)².2¹º¹º(1×2×3×…×1010)A=[(1!)²×(3!)²×…×(2019!)²×2⁵º⁵]²x(1010!)donc: n=1010 4 math .net Le première clé pour être bon en maths(compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner ADVERTISEMENT

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Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 57

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ADVERTISEMENT Olympiade de Mathématique( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner. Olympiade de Math – Algèbre Niveaux 01 – Exercice 57 a,b et c des réels non nulsTel que: abc=1Calculer:\(\frac{a+1}{ab+a+1}+\frac{b+1}{bc+b+1}+\frac{c+1}{ca+c+1}\) Solution:On a abc des réels non nuls avec abc=1d’ où:\(ab=\frac{1}{c}\)\(ac=\frac{1}{b}\)d’autre part:* \(\frac{a+1}{ab+a+1}\)\(=\frac{a+1}{\frac{1}{c}+a+1}\)\(=\frac{a+1}{\frac{1+ac+c}{c}}\)\(=\frac{ac+c}{1+ac+c}\)* \(\frac{b+1}{bc+b+1}\)\(=\frac{b(1+\frac{1}{b})}{b(c+1+\frac{1}{b})}\)\(=\frac{1+ac}{c+1+ac}\)DoncA=\(\frac{a+1}{ab+a+1}+\frac{b+1}{bc+b+1}+\frac{c+1}{ca+c+1}\)A=\(\frac{ac+c}{1+ac+c}+\frac{1+ac}{c+1+ac}+\frac{c+1}{ca+c+1}\)A=\(\frac{ac+c+1+ac+c+1}{1+ac+c}\)A=\(\frac{2(ac+c+1)}{1+ac+c}=2\) Olympiade de Maths, c’est une gymnastique […]

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Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 56

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ADVERTISEMENT Olympiade de Mathématique ( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges) Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner. Résoudre dans IR l’équation suivante: \(\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}+\frac{x+2}{x}=\frac{25}{6}\)  Solution \(\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}+\frac{x+2}{x}=\frac{25}{6}\)\(➝\frac{x+1-1}{x+1}+\frac{x+2-1}{x+2}+\frac{x+2}{x}=\frac{25}{6}\)\(➝1-\frac{1}{x+1}+1-\frac{1}{x+2}+1+\frac{2}{x}=\frac{25}{6}\)\(➝-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{2}{x}=\frac{25}{6}-3=\frac{7}{6}\)\(➝6(-x(x+2)-x(x+1)+2(x+1)(x+2)=7(x+1)(x+2) x\)\(➝7 x^{3}+21 x^{2}-4 x-24=0\)Or x=1 est une solution.\((1)➝(x-1)(7 x^{2}+28 x+24)=0\)\(➝7 x^{2}+28 x+24=0\)\(\Delta=28^{2}-4×7×24=112\)\(➝x=\frac{-28-\sqrt{112}}{14}\) Ou \(x=\frac{-28+\sqrt{112}}{14}\)\(➝x=\frac{-28-4 \sqrt{7}}{14}\) ou \(x=\frac{-28+4 \sqrt{7}}{14}\)\(➝x=\frac{-14-2 \sqrt{7}}{7}\) ou \(x=\frac{-14+2 \sqrt{7}}{7}\)Donc: \(x=1, x=-2-\frac{2}{\sqrt{7}}\) ou \(x=-2+\frac{2}{\sqrt{7}}\) Olympiade de […]

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Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 55

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ADVERTISEMENT Soient x et y deux nombres réels Tels que : -1≤x≤1 & -1≤y≤1 1) Montrer que: \(2\sqrt{(1-x²)(1-y²)}≤2(1-x)(1-y)+1\) 2) pour quelles valeurs de x et y l’égalité a lieu ? Solution 1) On a:  (a-b)²≥0 ➝ 2ab≤a²+b²  * On pose:  a²=1-x² & b²=1-y² ADVERTISEMENT ① il suffit de montrer que: 1-x²+1-y²≤ 2(1-x)(1-y)+1   Calculons la […]

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Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 54

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ADVERTISEMENT x,y deux nombres réels. Tel que: x²+y²=x³+y³=2 Déterminer les valeurs de x+y. Solution * On a: x²+y²=2 x²+y²+2xy=2+2xy (x+y)²=2+2xy on pose: t=(x+y) t²=2+2xy xy= (t²-2)/2 ① * d’autre part: x³+y³=2 (x+y)(x²-xy+y²)=2 (x+y)(x²-xy+y²)=2 (x+y)(2-xy)=2 ①↴ t (2-(t²-2)/2)=2 4t-t³+2t=4 6t-t³-4=0 6t-12-t³+8=0 6(t-2)-(t³-8)=0 (t-2)(6-t²-2t-4)=0 (t-2)(t²+2t-2)=0 t=2,t²+2t-2=0 t=2; t=-1+\(\sqrt{3}\),t=-1-\(\sqrt{3}\). Olympiade de Maths, c’est une gymnastique de l’esprit, Ce […]

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