Catégorie : Lycée

Monotonie d’une Fonction Numérique Exercice 1: Soit \(h\) la fonction numérique d'une variable réelle \(x\) définie par:\(h(x)=x+\frac{4}{x}\)1)a- Déterminer D l'ensemble de définition de \(h\).b- Etudier la parité de la fonction \(h\).2)a- Montrer que:quels que soient \(x_{1}\) et \(x_{2}\) de \(D\) avec \(x_{1}≠ x_{2}\) On a:\(\frac{h(x_{1})-h(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}=\frac{x_{1} x_{2}-4}{x_{1} x_{2}}\)b- En déduire:la monotonie…

Exercice 1: Déterminer \(D\) l'ensemble de définition de la fonction numérique \(f\) d'une variable réelle \(x\) dans chacun des cas suivants.1)\(f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+7}}\)2) \(f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+3}}\)3) \(f(x)=\frac{2 x-1}{\sqrt{x-4}}\)4) \(f(x)=\frac{x^{2}-3 x}{\sqrt{x-3}-1}\) Exercice 2: Etudier la parité de la fonction \(f\) d'une variable réelle \(x\) dans chacun des cas suivants.1) \(f(x)=|x+1|+|x-1|\)2) \(f(x)=|x+1|-|x-1|\) Exercice 3: Soit \(f\) la fonction…

Exercice 1: Soit a ∈] 0,1[.Pour tout entier naturel n≥2 on considère la fonction \(f_{n}\) définie sur IR par:\(f_{n}(x)=2x^{n}-x^{n-1}-a\)1) Montrer que:l'équation \(f_{n}(x)=0\) admet une unique solution \(λ_{n}\) dans [0,1]2) Vérifier que: pour tout n ∈IN*-{1}: \(\frac{1}{2}≤ λ_{n}<1 \)3) Etudier: la monotonie de la suite \((λ_{n})_{n≥2}\) En déduire qu'elle est convergente.4) Montrer…

Ensemble de Définition d'une Fonction Exercice 1: Vérifier que:la fonction \(f\) est bien définie sur l'intervalle \(I\)dans chacun des cas suivants:1) \(f(x)=\frac{2}{x-1} ; I=]1;+∞[\)2) \(f(x)=\sqrt{3-x} ; I=]+∞; 3]\)3) \(f(x)=\sqrt{x^{2}+1} ; I=IR\)4) \(f(x)=\sqrt{3-x^{2}} ; I=[-\sqrt{3};\sqrt{3}]\)5) \(f(x)=\sqrt{(1+\cos x)(1-\sin x)} ; I=IR\)6) \(f(x)=\sqrt{\sin x} ; I=[0; π]\). Exercice 2: Déterminer l'ensemble de définition…

Simplification des Expressions Exercice 1: Simplifier les expressions suivantes:\(a_{1}=e^{ln13}\) ; \(a_{2}=e^{ln5}\) ; \(a_{3}=e^{-ln7}\)\(b_{1}=e^{\frac{1}{3} ln27}\) ; \(b_{2}=e^{\frac{1}{2} ln4}\) ; \(b_{3}=e^{ln3-ln5}\)\(c_{1}=\frac{e^{ln216}}{e^{3 ln6}}\) ; \(c_{2}=\frac{e^{8+ln7}}{e^{9+ln14}}\) ; \(c_{3}=-e^{-ln\frac{1}{3}}\) Exercice 2: Simplifier\(A_{1}=ln(e^{-s})\) \(A_{2}=ln(\frac{1}{e^{3}})\)\(A_{3}=ln(\sqrt{e^{-ln(\beta)}})\)\(A_{4}=ln(\sqrt{e^{6}})-ln(\sqrt{e^{4}})\)\(A_{5}=\exp (-\frac{1}{5} ln(e^{-5}))\) Exercice 3: Si on a: \(x=3(e^{-7+ln(10^{3})}-1)\)alors a-t-on l'égalité:\(lnx=ln3+ln(1000-e^{7})-7\)\) Exercice 4: Simplifier les expressions suivantes:\(A=(e^{x})^{7}(e^{-3 x})^{2}\)\(B=\frac{e^{4 x+5}}{e^{4 x-3}}\)\(C=\frac{e^{3 x}+e^{-2 x}}{e^{-x}}\)\(D=\frac{e^{2 x} \sqrt{e^{x+2}}}{e^{1,2…

Comparaison et ordre Exercice 1: (x=4,23×10^{-2}\) et \(y=3,5×10^{-3}\)a) Déterminer les signes de \(x+y, x y\) et \(\frac{x}{y}\). b) Comparer \(x\) et \(y\).c) Comparer \(-x\) et \(-y\).d) Comparer \(\frac{1}{x}\) et \(\frac{1}{y}\) Exercice 2: Soit \(x=-3,8×10^{2}\) et \(y=1,17×10^{2}\)a) Déterminer les signes de \(x+y, x y\) et \(\frac{x}{y}\).b) Comparer \(x\) et \(y\).c) Comparer…

Calcule Sur les Logarithmes Exercice 1: Déterminer le domaine de définition de la fonction \(f\)dans chacun des cas suivants:1) \(f(x)=\ln (x+2)\) 2) \(f(x)=\ln (x^{2}-5 x)\)3) \(f(x)=\ln |x+1|\)4) \(f(x)=\ln ^{2} x-3 ln x\)5) \(f(x)=\ln ((x-1)^{2})\) 6) \(f(x)=x.\sqrt[3]{2-ln x}\)7) \(f(x)=\ln (x+2)+\ln (x-1)\)8) \(f(x)=\ln ((x+2)(x-1))\)9) \(f(x)=\ln (ln x)\)10) \(f(x)=\ln (\frac{x+2}{3-x})\)11) \(f(x)=\frac{\ln (x^{2}+4)}{x}\)12) \(f(x)=\frac{x}{\ln ^{2} x}+\frac{2}{\ln…

Limite des Suites Numérique: Exercice 1: \((u_{n})\),\((v_{n}\) et \((w_{n})\) suites définies par :\(u_{n}=\frac{1}{\sqrt{2+n}}\)\(v_{n}=\frac{3 n+1}{n-1}\)\(w_{n}=n \sqrt{n}\)Montrer en utilisant la définition que :\(\lim _{n ➝+∞} u_{n}=0\)\(\lim _{n ➝+∞} v_{n}=3\)\(\lim _{n ➝+∞} w_{n}=+∞\) Exercice 2: Calculer les limites suivantes :\(\lim _{n ➝+∞}(n^{3}-5 n^{2}-6 n+7\)\(\lim _{n ➝+∞} \frac{3 n^{2}-6 n^{4}}{2 n^{2}+5}\)\(\lim _{n ➝+∞} \frac{3…

1) Ensemble de définition d'une fonction Soit \(f\) une fonction numérique et \(D_{f}\) son ensemble de définition\(D_{f}={x ∈IR / f(x) existe }\) Exercice 1: Déterminer l'ensemble de définition de la fonction \(f\) d'une variable réelle \(x\) dans chacun des cas suivants:1) \(f(x)=x^{2}+3 x-\frac{1}{2}\)2) \(f(x)=\sqrt{x^{2}+x-6}\)3) \(f(x)=\frac{x}{x^{2}+3 x-4}\)4) \(f(x)=\frac{2 x-1}{\sqrt{-x^{2}+5 x-6}}\)5)\(f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{2 x-3}}\)6) \(f(x)=\frac{3…

Exercice 1: Soit \(f\) l'application définie par:\(f: IR^{2} ➝ IR^{2}\)(x, y)➝(x-y, x^{2}-y^{2})1) \(f\) est-elle injective ? justifier votre réponse.2) Résoudre: dans \(IR^{2}\), l'équation \(f(x, y)=(0, z)\) avec \(z ∈ IR^{*}\) \(f\) est-elle surjective? Exercice 2: Soit \(f\) l'application définie par: \(f: IR^{2} ➝ IR^{2}\)(x, y)➝(x+y, xy)1) \(f\) est-elle injective ? justifier votre…