Catégorie : Suites Numériques

Exercice 1: Soit la fonction \(f\) définie sur l'intervalle [0,2] par:\(f(x)=\frac{2x+1}{x+1}\)1)a) Donner les variation de \(f\) sur l'intervalle [0,2]b) Montrer que si x∈[1,2] alors f(x)∈[1,2]c) Tracer la représentation graphique de \(f\) dans un R.O.N \((o,\vec{i}, \vec{j})\) (unité graphique 4cm)2) Soit \(u_{n∈IN}\) la suite définie sur IN par:\(u_{0}=1\)\(u_{n+1}=f(u_{n}):n>0\)a) Construire sur l'axe des abscisses…

Exercice 1: Soit a ∈] 0,1[.Pour tout entier naturel n≥2 on considère la fonction \(f_{n}\) définie sur IR par:\(f_{n}(x)=2x^{n}-x^{n-1}-a\)1) Montrer que:l'équation \(f_{n}(x)=0\) admet une unique solution \(λ_{n}\) dans [0,1]2) Vérifier que: pour tout n ∈IN*-{1}: \(\frac{1}{2}≤ λ_{n}<1 \)3) Etudier: la monotonie de la suite \((λ_{n})_{n≥2}\) En déduire qu'elle est convergente.4) Montrer…

Limite des Suites Numérique: Exercice 1: \((u_{n})\),\((v_{n}\) et \((w_{n})\) suites définies par :\(u_{n}=\frac{1}{\sqrt{2+n}}\)\(v_{n}=\frac{3 n+1}{n-1}\)\(w_{n}=n \sqrt{n}\)Montrer en utilisant la définition que :\(\lim _{n ➝+∞} u_{n}=0\)\(\lim _{n ➝+∞} v_{n}=3\)\(\lim _{n ➝+∞} w_{n}=+∞\) Exercice 2: Calculer les limites suivantes :\(\lim _{n ➝+∞}(n^{3}-5 n^{2}-6 n+7\)\(\lim _{n ➝+∞} \frac{3 n^{2}-6 n^{4}}{2 n^{2}+5}\)\(\lim _{n ➝+∞} \frac{3…

Exercice 1: Soit  \((u_{n})\) la suite définie par:∀n ∈IN*:  \(u_{n}=\sum_{p=0}^{n} \frac{1}{P!}\)1) Calculer: \({u}_{1} ; ∀{u}_{2}\) et \({u}_{3}\)2) Montrer que: la suite  \((u_{n})\) est croissante3) Soit v la suite définie par :\(∀n∈IN^{*} {v}_{n}={u}_{n}+\frac{1}{n×n!}\)Montrer que: \((v_{n})\) est une suite décroissante.4) Vérifier que: \(\lim _{n➝+∞}(u_{n}-v_{n})=0\)5) En déduire que:  \((u_{n})\) et  \((v_{n})\) ont la même limite \(L\)6-a) Montrer que: ∀p≥ 1 on a: \(p!≤ 2^{P}\)b) En…

Exercice 1: Soit \((a_{n})\) et \((b_{n})\) les suites définies pour tout \(n\) entier naturel par :\(a_{0}=2, b_{0}=3\)\(a_{n+1}=\frac{1}{5}(3 a_{n}+2 b_{n})\) \(b_{n+1}=\frac{1}{5}(2 a_{n}+3 b_{n})\)1. Soit \((u_{n})\) la suite de terme général:\(u_{n}=a_{n}+b_{n}\).Montrer que: \((u_{n})\) est constante et calculer \(u_{n}\).2. Soit \((v_{n})\) la suite de terme général:\(v_{n}=a_{n}-b_{n}\).Montrer que: \((v_{n})\) est une suite géométrique.En déduire:l'expression de \(v_{n}\) en…

Exercice 1: On considère la suite: \(\left(u_{n}\right)_{\geq 1}\) de nombres réels définie pour tout \(\mathrm{n} \geq 1\) par: \(u_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}} E(\sqrt{n})\)Montrer que:la suite \((u_{n})'elle est convergente et préciser sa limite. Exercice 2: On considère la suite \(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}{ }^{*}\) de nombres réels définie par:\(u_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\)1. Montrer que: la suite \(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}{…

Exercice 1: Montrer que: la suite \(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}\) de terme général \(u n\) définie par :\(u_{n}=\frac{1 \times 3 \times \ldots \times(2 n+1)}{3 \times 6 \times \ldots \times(3 n+3)}\)est convergente et déterminer sa limite. Exercice 2: 1. Montrer que: pour tout \(k \in \mathbb{N}^{*}\)\(\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\)2. Soit \(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}^{*}\) la suite réelle définie…

Exercice 1: Soit \(\left(u_{n}\right)_{n\geq 0}\) la suite de nombres réels définie par: \(u_{0}∈]0,1]\)  et par la relation de récurrence:\(u_{n+1}=\frac{u_{n}}{2}+\frac{\left(u_{n}\right)^{2}}{4}\)1. Montrer que: \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n}>0\).2. Montrer que: \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \leq 1\).3. Montrer que: la suite est monotone. En déduire que :la suite est convergente.4. Déterminer la limite…

Exercice 1: On considère la suite numérique \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par: \(u_{0}=1\) et \(u_{n+1}=\frac{1}{1+u_{n}}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\)1) Etudier la variation de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^{+}\) par \(f(x)=\frac{1}{1+x}\).2) Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) on pose \(: \alpha_{n}=u_{2 n}\) et \(\beta_{n}=u_{2 n+1}\)a) Montrer que:la suite \(\left(\alpha_{n}\right)_{n \in…

Exercice 1: Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels tel que \(0<a<b .\) On considère les suites numériques: \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}}\) et \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définies par: \(u_{0}=a\) et \(v_{0}=b\) et pour tout \(n \in \mathbb{N}: u_{n+1}=\sqrt{u_{n} v_{n}}\) et \(v_{n+1}=\frac{u_{n}+v_{n}}{2}\).1) Montrer que: \(\forall n \in \mathbb{N} ; 0<u_{n+1} \leq u_{n}…