Catégorie : Calcul Intégrale

Etude des Fonctions Exercice 1: 1) Montrer que pour tout t∊IR:\(\frac{(1+t)^{2}}{(1+t^{2})(3+t^{2})}=\frac{t}{1+t^{2}}-\frac{t}{3+t^{2}}+\frac{1}{3+t^{2}}\)2) Montrer que pour tout α∊IR:\(\int_{0}^{α} \frac{1}{3+t^{2}} dt=\frac{1}{\sqrt{3}} Arctan(\frac{α}{\sqrt{3}})\)3) On considère la fonction \(F\) définie sur [0; π] par:\(F(x)=\int_{0}^{x} \frac{1+sin u}{2+cosu} du\)a) Montrer que \(F\) est dérivable sur [0;π].b) En utilisant une intégration par changement de variableet en posant \(t=\tan…

Sommes de Riemann Exercice 1: Calculer \(\lim _{n \rightarrow+∞} u_{n}\) dans chacun des cas suivants :1) \(u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{n^{2} \cdot \sqrt[3]{n^{3}+k^{3}}}\)2) \(u_{n}=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{n+k}{n^{2}+k^{2}}\)3) \(u_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^{3}}{\sqrt{\left(n^{2}+k^{2}\right)^{3}}}\)4) \(u_{n}=\frac{1}{n \sqrt{n}} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{k}{\sqrt{n+k}}\) Exercice 2: Calculer \(\lim u_{n}\) dans chacun des cas suivants:1) \(u_{n}=\frac{1}{n}\left[\prod_{k=1}^{n}(n+k)\right]^{\frac{1}{n}}\)2) \(u_{n}=\left[\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n}\right)^{k}\right]^{\frac{1}{n^{2}}}\) Exercice 3: On considère la fonction numérique \(f\) définie…

Exercice 1: En utilisant la technique de changement de variable,Calculer les intégrales suivantes :\(A=\int_{2}^{3} \frac{dx}{x+\sqrt{x-1}}\) (poser: \(t=\sqrt{x-1})\)\(B=\int_{0}^{1} x\sqrt[3]{x+1} dx\) (poser: \(t=\sqrt[3]{x+1})\)\(C=\int_{0}^{π} \sqrt{1+\sin x} dx \) (poser: \(.t=\frac{x}{2}-\frac{π}{4})\)\(D=\int_{0}^{3} \frac{dx}{4 x^{2}+9}\) (poser: \(t=\frac{2 x}{3})\)\(E=\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{1-x^{2}} dx \) (poser: \(x=\cos t)\)\(F=\int_{0}^{-\ln (\sqrt{3})} \frac{dx}{e^{x}(1+e^{2 x})} \) (poser: \(x=-\ln t)\) Exercice 2: En utilisant…

Exercice 1: En utilisant la formule d'intégration par parties,calculer les intégrales suivantes:\(A=\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{x}{\sqrt{1+2 x}} dx\)\(B=\int_{1}^{e} x \ln x dx\)\(C=\int_{0}^{1}(x+3) e^{-x} dx\)\(D=\int_{0}^{\frac{1}{3}}(4 x-1) e^{3 x} dx\)\(E=\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \cos ^{2}(2 x) dx\)\(F=\int_{0}^{\sqrt{3}} x^{3} \sqrt{x^{2}+1} dx\)\(G=\int_{-1}^{4} \frac{x+2}{\sqrt{x+5}} dx\)\(H=\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin x \cos x dx\) Exercice 2: En utilisant la formule d'intégration par parties,calculer…

Exercice 1: Calculer les intégrales suivantes\(A_{1}=\int_{-2}^{3} t(t^{2}+2)^{7} dt\)\(A_{2}=\int_{1}^{4}(\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}})^{2} dt\)\(A_{3}=\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2 x+1}}\)\(A_{4}=\int_{1}^{0} \frac{dx}{(2 x+1)^{2018}}\)\(A_{5}=\int_{0}^{1} x^{20} \sqrt{x} dx\)\(A_{6}=\int_{0}^{2}(x+2) \sqrt{x^{2}+4 x} dx\)\(A_{7}=\int_{7}^{0} \frac{dx}{\sqrt[3]{1+x}}\)\(A_{8}=\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^{4}} dx\) Exercice 2: Calculer les intégrales suivantes :\(B_{1}=\int_{1}^{2} x \sqrt{x-1} dx\)\(B_{2}=\int_{2}^{5} \frac{t}{\sqrt{t-1}} dt\)\(B_{3}=\int_{0}^{3} \frac{x}{(x-1) \sqrt{x+1}} dx\)\(B_{4}=\int_{4}^{9} \frac{dx}{x+\sqrt{x}}\)\(B_{5}=\int_{1}^{4} \frac{dx}{\sqrt{x}(x+1)}\)\(B_{6}=\int_{2}^{3} \frac{2 x}{(x-1)(x+2)} dx\) Exercice 3: Calculer les intégrales suivantes:\(C_{1}=\int_{0}^{π}(\cos \frac{x}{2}-\sin 3x)…

Calculer les intégrales suivantes: 1- \(I=\int_{1}^{9}(3x-2)^{-3/2} \quad dx\)2- \(I=\int_{0}^{\ln 2} \frac{\sqrt{e^{x}}}{\left(1+\sqrt{e^{x}}\right)^{2}} \quad dx \quad\left(t=\sqrt{e^{x}}\right)\)3- \(I=\int_{0}^{\frac{π}{2}}\frac{cos(x)}{1+sin²(x)}\quad dx \quad\left(t=sin(x)\right)\)4- \(I=\int_{1}^{e} x^{4} \ln x \quad dx\)5- \(I=\int_{1}^{2}\left(x+\frac{1}{x}\right) \ln x \quad dx\)6- \(I=\int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}}\frac{2}{x\sqrt{1+x²}} \quad dx\)7- \(I=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin 2 x}{\sqrt{1+3 \cos ^{2} x}} \quad dx\)8- \(I_{1}=\int_{0}^{\ln 2}\left(e^{x}-1\right)^{5} e^{2x} \quad dx\)9- \(I=\int_{-1}^{4} \frac{1}{x+\sqrt{x}} \quad dx\)10- \(I=\int_{1}^{e}…