Catégorie : Lycée

Exercice 1: Calculer les intégrales proposées(Vérifier que chacune des fonctions est positive sur l'intervalle considérée):1-\(I_{1}=\int_{0}^{1}(5 x^{2}+3x) dx\)2-\(I_{2}=\int_{-1}^{1}(x^{2}) dx\)3-\(I_{3}=\int_{-1}^{1}(x^{2}-x) dx\)4-\(I_{4}=\int_{0}^{1}(x^{2}-3x+8) dx\) Exercice 2: 1-Prouvez que, pour tout t∈[0,1],\(\frac{t^{2}}{2}≤ \frac{t^{2}}{1+t}≤ t^{2}\)2-Déduisez-en un encadrement de\(I=\int_{0}^{1} \frac{t^{2}}{1+t} dt\) Exercice 3: Soit \(f\) une fonction continue et positive sur [0;1]telle que, pour tout x∈[0;1], il…

Etude des Fonctions Exercice 1: 1) Montrer que pour tout t∊IR:\(\frac{(1+t)^{2}}{(1+t^{2})(3+t^{2})}=\frac{t}{1+t^{2}}-\frac{t}{3+t^{2}}+\frac{1}{3+t^{2}}\)2) Montrer que pour tout α∊IR:\(\int_{0}^{α} \frac{1}{3+t^{2}} dt=\frac{1}{\sqrt{3}} Arctan(\frac{α}{\sqrt{3}})\)3) On considère la fonction \(F\) définie sur [0; π] par:\(F(x)=\int_{0}^{x} \frac{1+sin u}{2+cosu} du\)a) Montrer que \(F\) est dérivable sur [0;π].b) En utilisant une intégration par changement de variableet en posant \(t=\tan…

Sommes de Riemann Exercice 1: Calculer \(\lim _{n \rightarrow+∞} u_{n}\) dans chacun des cas suivants :1) \(u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{n^{2} \cdot \sqrt[3]{n^{3}+k^{3}}}\)2) \(u_{n}=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{n+k}{n^{2}+k^{2}}\)3) \(u_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^{3}}{\sqrt{\left(n^{2}+k^{2}\right)^{3}}}\)4) \(u_{n}=\frac{1}{n \sqrt{n}} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{k}{\sqrt{n+k}}\) Exercice 2: Calculer \(\lim u_{n}\) dans chacun des cas suivants:1) \(u_{n}=\frac{1}{n}\left[\prod_{k=1}^{n}(n+k)\right]^{\frac{1}{n}}\)2) \(u_{n}=\left[\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n}\right)^{k}\right]^{\frac{1}{n^{2}}}\) Exercice 3: On considère la fonction numérique \(f\) définie…

Exercice 1: En utilisant la technique de changement de variable,Calculer les intégrales suivantes :\(A=\int_{2}^{3} \frac{dx}{x+\sqrt{x-1}}\) (poser: \(t=\sqrt{x-1})\)\(B=\int_{0}^{1} x\sqrt[3]{x+1} dx\) (poser: \(t=\sqrt[3]{x+1})\)\(C=\int_{0}^{π} \sqrt{1+\sin x} dx \) (poser: \(.t=\frac{x}{2}-\frac{π}{4})\)\(D=\int_{0}^{3} \frac{dx}{4 x^{2}+9}\) (poser: \(t=\frac{2 x}{3})\)\(E=\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{1-x^{2}} dx \) (poser: \(x=\cos t)\)\(F=\int_{0}^{-\ln (\sqrt{3})} \frac{dx}{e^{x}(1+e^{2 x})} \) (poser: \(x=-\ln t)\) Exercice 2: En utilisant…

Exercice 1: En utilisant la formule d'intégration par parties,calculer les intégrales suivantes:\(A=\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{x}{\sqrt{1+2 x}} dx\)\(B=\int_{1}^{e} x \ln x dx\)\(C=\int_{0}^{1}(x+3) e^{-x} dx\)\(D=\int_{0}^{\frac{1}{3}}(4 x-1) e^{3 x} dx\)\(E=\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \cos ^{2}(2 x) dx\)\(F=\int_{0}^{\sqrt{3}} x^{3} \sqrt{x^{2}+1} dx\)\(G=\int_{-1}^{4} \frac{x+2}{\sqrt{x+5}} dx\)\(H=\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin x \cos x dx\) Exercice 2: En utilisant la formule d'intégration par parties,calculer…

Exercice 1: Calculer les intégrales suivantes\(A_{1}=\int_{-2}^{3} t(t^{2}+2)^{7} dt\)\(A_{2}=\int_{1}^{4}(\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}})^{2} dt\)\(A_{3}=\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2 x+1}}\)\(A_{4}=\int_{1}^{0} \frac{dx}{(2 x+1)^{2018}}\)\(A_{5}=\int_{0}^{1} x^{20} \sqrt{x} dx\)\(A_{6}=\int_{0}^{2}(x+2) \sqrt{x^{2}+4 x} dx\)\(A_{7}=\int_{7}^{0} \frac{dx}{\sqrt[3]{1+x}}\)\(A_{8}=\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^{4}} dx\) Exercice 2: Calculer les intégrales suivantes :\(B_{1}=\int_{1}^{2} x \sqrt{x-1} dx\)\(B_{2}=\int_{2}^{5} \frac{t}{\sqrt{t-1}} dt\)\(B_{3}=\int_{0}^{3} \frac{x}{(x-1) \sqrt{x+1}} dx\)\(B_{4}=\int_{4}^{9} \frac{dx}{x+\sqrt{x}}\)\(B_{5}=\int_{1}^{4} \frac{dx}{\sqrt{x}(x+1)}\)\(B_{6}=\int_{2}^{3} \frac{2 x}{(x-1)(x+2)} dx\) Exercice 3: Calculer les intégrales suivantes:\(C_{1}=\int_{0}^{π}(\cos \frac{x}{2}-\sin 3x)…

Calculer les intégrales suivantes: 1- \(I=\int_{1}^{9}(3x-2)^{-3/2} \quad dx\)2- \(I=\int_{0}^{\ln 2} \frac{\sqrt{e^{x}}}{\left(1+\sqrt{e^{x}}\right)^{2}} \quad dx \quad\left(t=\sqrt{e^{x}}\right)\)3- \(I=\int_{0}^{\frac{π}{2}}\frac{cos(x)}{1+sin²(x)}\quad dx \quad\left(t=sin(x)\right)\)4- \(I=\int_{1}^{e} x^{4} \ln x \quad dx\)5- \(I=\int_{1}^{2}\left(x+\frac{1}{x}\right) \ln x \quad dx\)6- \(I=\int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}}\frac{2}{x\sqrt{1+x²}} \quad dx\)7- \(I=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin 2 x}{\sqrt{1+3 \cos ^{2} x}} \quad dx\)8- \(I_{1}=\int_{0}^{\ln 2}\left(e^{x}-1\right)^{5} e^{2x} \quad dx\)9- \(I=\int_{-1}^{4} \frac{1}{x+\sqrt{x}} \quad dx\)10- \(I=\int_{1}^{e}…

Exercice 1: Soit la fonction \(f\) définie sur l'intervalle [0,2] par:\(f(x)=\frac{2x+1}{x+1}\)1)a) Donner les variation de \(f\) sur l'intervalle [0,2]b) Montrer que si x∈[1,2] alors f(x)∈[1,2]c) Tracer la représentation graphique de \(f\) dans un R.O.N \((o,\vec{i}, \vec{j})\) (unité graphique 4cm)2) Soit \(u_{n∈IN}\) la suite définie sur IN par:\(u_{0}=1\)\(u_{n+1}=f(u_{n}):n>0\)a) Construire sur l'axe des abscisses…

Exercice 1: Soit \(f\) la fonction d'une variable réelle \(x\) définie par\(f(x)=x+2-2 \sqrt{x+2}\)1) Déterminer \(D_{f}\) l'ensemble de définition de \(f\).et montrer que \(∀x ∈D_{f}\): f(x) ≥-12) a-Montrer que pour tous a et b de \(D_{f}\) tels que \(a≠b\) :\(\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=\frac{\sqrt{a+2}+\sqrt{b+2}-2}{\sqrt{a+2}+\sqrt{b+2}}\)b- En déduire les variations de \(f\) sur [-2,-1] et sur [-1,+∞[c-…

Variation d'une Fonction Numérique Exercice 1: On considère la fonction numérique \(h\) d'une variable réelle \(x\)définie par: \(h(x)=x-2 \sqrt{x-1}\)1) Déterminer \(D\) l'ensemble de définition de la fonction \(h\).2) Montrer que \(h(2)\) est une valeur minimale de \(h\) sur \(D\).3) On considère les deux fonctions numériques \(f\) et \(g\) telles que :\(f(x)=x^{2}\)…