Examen Olympiade Math Intermédiaire 01

olympiade de Mathématiques ( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges) ympiade de Maths, c'est une gymnastique de l'esprit, Ce qu'il faut  c'est 4math.net et beaucoup de pratiques 4math.net Le première clé pour être bon en maths
Olympiade Math – Algèbre 02

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 39

Trouver tous les couples (x, y) de nombres entiers relatifs Tels que : y=2x²+5xy+3y² Solution: y=2x²+5xy+3y² ⇔4x²+10xy+6y²-2y=0 ⇔(2x)²+2(2x)(5/2 y)+(5/2 y)²-(5/2 y)²+6y²-2y=0 ⇔(2x+5/2 y)²-(5/2 y)²+6y²-2y=0 ⇔(2x+5/2 y)²-1/4 y²-2y=0 ⇔(4x+5y)²-y²-8y=0 ⇔(4x+5y)²-(y²+8y+16)+16=0 ⇔(4x+5y)²-(y+4)²=16 ⇔(4x+5y-y-4)(4x+5y+y+4)=-16 ⇔(4x+4y-4)(4x+6y+4)=-16 ⇔(x+y-1)(2x+3y+2)=-2 on pose x+y-1=a (1) & 2x+3y+2=b (2) on a: ab=-2 (a,b) ∈{(1,-2);(-1,2);(2,-1);(-2,1)} 3(1)-(2): ⇒3x+3y-3-2x-3y-2=3a-b ⇒x=3a-b+5 (3) ⇒y=a+1-x Donc:…
Olympiade Math - Algèbre

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 38

[caption id="attachment_1871" align="alignnone" width="1080"] Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 38[/caption] Les nombres réels x₁,x₂,x₃ sont solutions de l’équation : x³-3x²+(a+2)x-a=0 avec a∊IR & (x₁<x₂<x₃). Trouver toutes les valeurs possibles de l’expression: 4x₁-x₁²+x₃² Solution: on pose: p(x)=x³-3x²+(a+2)x-a on a: p(1)=0 le nombre 1 est une racine du polynôme p(x)…
Olympiade Math Algèbre

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 36

Soient x et y deux nombres réels strictement positifs Tels que: x+y+xy=3.Montrer que: x+y≥2.Pour quels valeurs de x et y on a l’égalité: x+y=2? Solution:On a: (x-y)²≥0⇒x²+y²≥2xy⇒(x+y)²≥4xyd’autre part:x+y+xy=3⇒xy=3-x-y.d'où(x+y)²≥4(3-x-y)⇒(x+y)²+4(x+y)≥12⇒(x+y)²+4(x+y)+4≥16⇒(x+y+2)²≥16or on a x>0 et y>0alors x+y+2≥4donc: x+y≥2Si on a l’égalité: x+y= 2x+y+xy=3⇒2+xy=3⇒xy=1⇒x(2-x)=1⇒x²-2x+1=0⇒(x-1)²=1⇒x=1donc x=y=1. réciproquementsi x=y=1⇒x+y=2 et x+y+xy=3. On a: (x-y)²≥0 ⇒x²+y²≥2xy ⇒(x+y)²≥4xy…

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 35

Montrer que pour tout nombre réel a : a+a³-a⁴-a⁶<1 Voir Solution

Olympiade Math – Géométrie 02 – Ex 15

ABC triangle Rectangle en B tel que: BC=2, AB=1 la bissectrice intérieure de l'angle A recoupe le côté [BC] en D. Calculer BD.  Voir Solution Soit la figure suivante: * ABC rectangle en B AC²=AB²+BC² *  (C) Cercle inscrit à ABC de centre O et de rayon r. dans le…

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 34

Soit f le polynôme défini par: f(x)=x¹º+2x⁹-2x⁸-2x⁷+x⁶+3x²+6x+1 Calculer: Voir Solution On a: a²+2a=1 f(a)=a¹º+2a⁹-2a⁸-2a⁷+a⁶+3a²+6a+1 * a¹º+2a⁹=a⁸(a²+2a)=a⁸ * 3a²+6a+1=3(a²+2a)+1=4 f(a)=a⁸-2a⁸-2a⁷+a⁶+4 f(a)=-a⁶(a²+2a-1)+4 Donc  f(a)=4 Olympiade de Mathématique, c'est une gymnastique de l'esprit, Ce qu'il faut c'est 4 math .net et beaucoup de pratiques.                    …

Olympiade Math – Géométrie 02 – Ex 14

Soit la figure suivante: SBCE=15cm SAED=7cm BÂC=45° Calculer DC=x? Voir Solution H projecton de C sur [EB] G projecton de C sur [AD] On pose: SHCE=S SBCH=15-S d'autre part: les deux triangles ACG & BCH sont semblables. car: * Traingle ABC rectangle en C. ➝ BÂC=AB̂C=45° ➝ AC=BC ① * Deux angles inscrits…
Olympiade Math Algèbre

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 33

[caption id="attachment_2029" align="alignnone" width="1080"] Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 33[/caption] Olympiade de Mathématique ( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges) Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.   Olympiade Math - Algèbre 02 - Exercice 33 a,b et c sont des réels positifstels que…
Olympiade Math - Algèbre

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 32

[caption id="attachment_2173" align="alignnone" width="1080"] Olympiade Math - Algèbre 02 - Ex 32[/caption] Olympiade de Mathématique( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.Olympiade Math - Algèbre 02 - Exercice 32 Soit x,y des réels, Tel que:\(\left\{\begin{array}{l} ax+by=3 \\ax²+by²=7 \\ ax³+by³=16\\ ax⁴+by⁴=42 \end{array}\right.\)Calculer…