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Olympiade Math – Algèbre 02

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 39

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ADVERTISEMENT ADVERTISEMENT Trouver tous les couples (x, y) de nombres entiers relatifs Tels que : y=2x²+5xy+3y² Solution: y=2x²+5xy+3y² ⇔4x²+10xy+6y²-2y=0 ⇔(2x)²+2(2x)(5/2 y)+(5/2 y)²-(5/2 y)²+6y²-2y=0 ⇔(2x+5/2 y)²-(5/2 y)²+6y²-2y=0 ⇔(2x+5/2 y)²-1/4 y²-2y=0 ⇔(4x+5y)²-y²-8y=0 ⇔(4x+5y)²-(y²+8y+16)+16=0 ⇔(4x+5y)²-(y+4)²=16 ⇔(4x+5y-y-4)(4x+5y+y+4)=-16 ⇔(4x+4y-4)(4x+6y+4)=-16 ⇔(x+y-1)(2x+3y+2)=-2 on pose x+y-1=a (1) & 2x+3y+2=b (2) on a: ab=-2 (a,b) ∈{(1,-2);(-1,2);(2,-1);(-2,1)} 3(1)-(2): ⇒3x+3y-3-2x-3y-2=3a-b ⇒x=3a-b+5 (3) ⇒y=a+1-x Donc: (x,y) ∈{(-2,1);(12,-9);(0,0);(10,-8)} ADVERTISEMENT

Olympiade Math - Algèbre

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 38

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ADVERTISEMENT Les nombres réels x₁,x₂,x₃ sont solutions de l’équation : x³-3x²+(a+2)x-a=0 avec a∊IR & (x₁<x₂<x₃). Trouver toutes les valeurs possibles de l’expression: 4x₁-x₁²+x₃² Solution: on pose: p(x)=x³-3x²+(a+2)x-a on a: p(1)=0 le nombre 1 est une racine du polynôme p(x) division euclidienne de p(x) par (x-1): p(x)=(x-1)Q(x) avec Q(x)=x²-2x+a d’après l’hypothèse Q(x) admis deux solutions α […]

Olympiade Math Algèbre

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 36

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ADVERTISEMENT ADVERTISEMENT Soient x et y deux nombres réels strictement positifs Tels que: x+y+xy=3.Montrer que: x+y≥2.Pour quels valeurs de x et y on a l’égalité: x+y=2? Solution:On a: (x-y)²≥0⇒x²+y²≥2xy⇒(x+y)²≥4xyd’autre part:x+y+xy=3⇒xy=3-x-y.d’où(x+y)²≥4(3-x-y)⇒(x+y)²+4(x+y)≥12⇒(x+y)²+4(x+y)+4≥16⇒(x+y+2)²≥16or on a x>0 et y>0alors x+y+2≥4donc: x+y≥2Si on a l’égalité: x+y= 2x+y+xy=3⇒2+xy=3⇒xy=1⇒x(2-x)=1⇒x²-2x+1=0⇒(x-1)²=1⇒x=1donc x=y=1. réciproquementsi x=y=1⇒x+y=2 et x+y+xy=3. On a: (x-y)²≥0 ⇒x²+y²≥2xy ⇒(x+y)²≥4xy d’autre part: x+y+xy=3⇒xy=3-x-y. […]

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 34

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ADVERTISEMENT ADVERTISEMENT Soit f le polynôme défini par: f(x)=x¹º+2x⁹-2x⁸-2x⁷+x⁶+3x²+6x+1 Calculer: Voir Solution On a: a²+2a=1 f(a)=a¹º+2a⁹-2a⁸-2a⁷+a⁶+3a²+6a+1 * a¹º+2a⁹=a⁸(a²+2a)=a⁸ * 3a²+6a+1=3(a²+2a)+1=4 f(a)=a⁸-2a⁸-2a⁷+a⁶+4 f(a)=-a⁶(a²+2a-1)+4 Donc  f(a)=4 Olympiade de Mathématique, c’est une gymnastique de l’esprit, Ce qu’il faut c’est 4 math .net et beaucoup de pratiques.                           […]

Olympiade Math – Géométrie 02 – Ex 14

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ADVERTISEMENT ADVERTISEMENT Soit la figure suivante: SBCE=15cm SAED=7cm BÂC=45° Calculer DC=x? Voir Solution H projecton de C sur [EB] G projecton de C sur [AD] On pose: SHCE=S SBCH=15-S d’autre part: les deux triangles ACG & BCH sont semblables. car: * Traingle ABC rectangle en C. ➝ BÂC=AB̂C=45° ➝ AC=BC ① * Deux angles inscrits dans un cercle […]

Olympiade Math Algèbre

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 33

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ADVERTISEMENT Olympiade de Mathématique ( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges) Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.   Olympiade Math – Algèbre 02 – Exercice 33 a,b et c sont des réels positifstels que a+b+c=1.Trouver la valeur maximale de l’expression\(\frac{1}{a²-4a+9}+\frac{1}{b²-4b+9}+\frac{1}{c²-4c+9} *pour tout 0≤x≤1On a : (\frac{1}{x²-4x+9}≤\frac{x+2}{18})calculons la différence:A=(x+2)/18 – 1/(x²-4x+9) A=(x+2)(x²-4x+9)-18 […]

Olympiade Math - Algèbre

Olympiade Math – Algèbre 02 – Ex 32

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ADVERTISEMENT Olympiade de Mathématique( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.Olympiade Math – Algèbre 02 – Exercice 32 Soit x,y des réels, Tel que:\(\left\{\begin{array}{l} ax+by=3 \\ax²+by²=7 \\ ax³+by³=16\\ ax⁴+by⁴=42 \end{array}\right.\)Calculer ax⁵+by⁵ ?   Solution:* on a: ax²+by²=7(ax²+by²)(x+y)=7(x+y)ax³+by³+ax²y+by²x=7(x+y)16+xy(ax+by)=7(x+y)16+3xy=7(x+y) ➀* on a:ax³+by³=16(ax³+by³)(x+y)=16(x+y)ax⁴+by⁴+xy(ax²+by²)=16(x+y)42+7xy=16(x+y) ②➀ & ② ⤵️x+y=-14 & xy=-38* on a:ax⁴+by⁴=42(ax⁴+by⁴)(x+y)=42(x+y)ax⁵+by⁵+xy(ax³+by³)=42(x+y)ax⁵+by⁵+16xy […]

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