Catégorie : Examens

Exercice 1: (3.5 Pts) Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O ; \vec{u}, \vec{v})\).1) a-Déterminer les deux racines carrées du nombre complexe \(3+4 i\)b- Résoudre dans l'ensemble \(ℂ\) l'équation :\((E) : 4 z^{2}-10 i z-7-i=0\)2) Soient \(a\) et \(b\) les solutions de l'équation \((E)\) avec \(Re(a)<0\)et soient…

Exercice 1: (4 Pts) Soit ((u_{n})_{n∈IN }) la suite numérique définie par:(u_{0}=4)((∀n∈IN ) ; u_{n+1}=frac{5 u_{n}-4}{u_{n}+1})1)- a)- (alculer u (_{1}).6)- Montrer par récurrence que: ((∀n∈IN ) ; u_{n}>2).2)- a)- Vérifier que :((∀n∈IN ) ; u_{n+1}-u_{n}=frac{-(u_{n}-2)^{2}}{u_{n}+1}).6)- En déduire la monotonie de ((u_{n})_{n∈IN }),justifier qu'elle est convergente.3) On pose pour tout n∈IN:…

Exercice 1: (5 Pts) I. Soit (f) l'application définie de (ℂ -{- 1 }) par:(f ( z )=frac{ z + 4 }{ z + 1 })1) Montrer que:(f ( i sqrt{ 3 }- 1 )= 1 - i sqrt{ 3 }).2) Vérifier que:(f ( z )=- z ⇔ z ^{2}+…

Exercice 1: Soit (m) un nombre complexe non réel ((m∈ℂ-IR )).Parie A:On considère dans ({C}), l’équation d’inconnue (z) définie par:(E): (z^{2}-(1+i)(1+m) z+2 i m=0)1 (a) Montrer que le discriminent de l'équation ( (E) ) est non nul.b) Déterminer (z_{1}) et (z_{2}), les deux solutions de l'équation ((E)).2 On suppose dans…

Exercice 1: (4 Pts) Soit (m) un nombre complexe non nul.I. On considère dans (ℂ) l'équation d'inconnue (Z) définie par:((E_{m}): z^{3}+(2-i) z^{2}+(m^{2}+1-2 i) z-i(m^{2}+1)=0)Et soit (z_{0} ; z_{1}) et (z_{2}) sont les solutions de l'équation ((E_{m})).1) Vérifier que (z_{0}=i) est une solution de l'équation ((E_{m}))2) Résoudre dans (C) l'équation ((…

Exercice 1: (3 Pts) I.On considère dans (C) l’équation d'inconnue (Z) définie par:(( E ): z^{2}-sqrt{3} z+1=0)1) Résoudre dans (C) l’équation ((E)).2) Déterminer une écriture exponentielle de chacune des solutions de l’équation ((E)).3) Montrer que:((z_{1}^{2021}+z_{2}^{2021}) ∈ IR)II.Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormé direct (( O;vec{u};vec{v})).On considère les…

Exercice 1: (5 Pts) I. On considère dans (C) l'équation d'inconnue (Z) définie par:(( E ): z ^{2}+8 sqrt{3} z+64=0)1) Résoudre dans (C) l'équation ((E)).2) En déduire les solutions de l’équation:((2 i bar{z}-4 sqrt{3})^{2}+8 sqrt{3}(2 i bar{z}-4 sqrt{3})+64=0) II. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct(( O…

Exercice 1: (4 Pts) Soit la suite ((u_{n})) définie par :(u_{0}=2 )(u_{n+1}=2-frac{1}{u_{n}} ) pour tout n de (IN)1. Montrer que:(∀n∈IN) : (u_{n}>1).2. a. Montrer que:(u_{n+1}-u_{n}=-frac{(u_{n}-1)^{2}}{u_{n}})puis déduire la monotonie de la suite ((u_{n}) .)b. Montrer que la suite ((u_{n})) est convergente.3. Pour tout (n) de (N) on pose : (v_{n}=frac{u_{n}-2}{u_{n}-1}).a. Calculer…

Exercice 1: (4 Pts) Partie I:On considère dans (Z×Z) l'équation suivante:((E): 17 x-11 y=2021)1. Montrer que:si ((x, y)) est une solution de ((E)) alors (x ≡ 5[11]).2. Résoudre dans (Z×Z) l'équation ((E)). Partie II:Soit (p) un entier naturel premier tel que (p ≥ 3), différent de 43 et 47.On admet…

Exercice 1: (5 Pts) I.On considère dans (C) l'équation d'inconnue (z) définie par:(( E ): 4 z ^{2}-2 z +1=0)1) Résoudre dans (C) l'équation ((E)).2) En déduire les solutions de l'équation:(4(2 i z+1+i sqrt{3})^{2}-2(2 i z+1+i sqrt{3})+1=0) II.Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct(( O ; vec{…