Catégorie : Examens

Exercice 1: (10 Pts) A-1-Verifier que ∀x∈IR+ :\(0≤ 1-x+x^{2}-\frac{1}{x+1}≤ x^{3}\)2. En déduire que ∀x∈IR+ :\( 0≤ x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\ln (1+x)≤ \frac{x^{4}}{4}\)B- On considère la fonction \(f\)définie sur I=[0,+∞[ par \(f(0)=\frac{1}{2}\):\(∀x∈[0,+∞[; (f(x)=\frac{x-\ln (1+x)}{x^{2}}\)et soit \((C)\) sa courbe représentativedans un repère orthonormé \((O,\vec{i}, \vec{j})\)1-a) Montrer que: \(f\) est continue d droite en 0b) Montrer que:…

Exercice 1: (5 Pts) Soit \((u_{n})_{n∈IN}\) la suite numérique définie par:\(u_{0}=-1\)et pour tout n de \(IN\) on a:\(u_{n+1}=\frac{1}{3} u_{n}-\frac{1}{2}\)1. Calculer \(u_{1}\) et \(u_{2}\)2. Montrer par récurrence que pour tout n de IN : \(u_{n}<-\frac{3}{4}\)3.a. Montrer que pour tout n de IN \(u_{n+1}-u_{n}=-\frac{2}{3}(u_{n}+\frac{3}{4})\)3.b. En déduire que \((u_{n})_{n∈IN}\) est une suite croissante.4.…

Exercice 1: (2 Pts) 1) a) Résoudre dans R I'équation : \(e^{2 x}-4 e^{x}+3=0\)b) Résoudre dans R l'inéquation : \(e^{2 x}-4 e^{1}+3≤ 0\)c) Calculer \(\lim _{x ➝ 0} \frac{e^{i x}-4 e^{x}+3}{e^{2 x}-1}\)2) Montrer que l'équation \(e^{2x}+e^{x}+4x=0\)admet une solution dans l'intervalle [-1,0] Exercice 2: (4 Pts) Soit \((u_{n})\) la suite numérique…

  Exercice 1: (12 Pts) Pour tout entier naturel (n), on considère la fonction (f_{n }) définie sur IR par :(f_{n}(x)=frac{-2 e^{x}}{1+e^{x}}+n x)Soit ((C_{n})) sa courbe représentative dans un repère orthonormé((O, vec{i}, vec{j})).On prendra (|vec{i}|=|vec{j}|= l cm) ) Partie I :1-a) Calculer (lim _{x➝+∞}(f_{n}(x)-n x+2))puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.b)…

Exercice 1: (2,6 Pts) 1) Résoudre dans R l'équation : \(\quad 3 t^{2}-4 t+1=0\).2) Déduire dans R la solution de: \(\quad 3 e^{x}-4 \sqrt{e^{x}}+1=0\)et \(3 \log _{2}(x)-4+\frac{1}{\log _{2}(x)}=0\).3) Résoudre dans R l'inéquation: \(\quad 3 \ln ^{3}(x)-4 \ln ^{2}(x)+\ln (x)>0\)4) Résoudre dans \(\mathbb{R}^{2}\) le système suivant:\(\left\{\begin{array}{l}3 e^{x}-5 e^{y}=1 \\ 2 \sqrt{e^{2…

Exercice 1: (5 Pts) Soit la suite numérique \((U_{n})_{n ≥ 0}\) définie par :\(U_{0}=4\)n∈IN: \(U_{n+1}=\frac{1}{2} U_{n}+3\)1) Calculer \(U_{1}, U_{2}\)2) Montrer par récurrence que ∀n ∈IN : \(U_{n}≤ 6\)3) a) Montrer que ∀ n ∈IN ; \(U_{n+1}-U_{n}=\frac{6-U_{n}}{2}\)b) En déduire la monotonie de la suite \((U_{n})\).c) La suite \((U_{n})\) est-elle convergente?Justifier votre…

Exercice 1: (7 Pts) I- On considère dans l'ensemble \(ℂ\) l'équation:\((E): z^{2}-2 z+2=0\)1) Déterminer \(z_{1}\) et \(z_{2}\) les solutions de (E) tels que:\(Im (z_{1}>0 .\)2) Ecrire \(z_{1}\) puis \(z_{2}\) sous forme exponentielleet montrer que: \((z_{1})^{8}=16\). II- Dans le plan complexe (P) muni d'un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\),On Considère…

Exercice 1: (3 Pts) 1)- Résoudre dans l'ensemble, l'équation: \((E): z^{2}-4 z+13=0\).2)- Dans le plan complexe (P) muni d'un repère orthonormé direct (O, \(\vec{u}, \vec{v})\),On Considère les points A, B et C d'affixes: \(z_{A}=i, z_{B}=2+3 i\) et \(z_{C}=2-3 i .\)a) Soit r la rotation de centre B et d'angle \(\frac{π}{4}\),On…

Exercice 1: (4 Pts) Soit \((u_{n})_{n∈IN }\) la suite numérique définie par:\(u_{0}=4 \)\(∀n∈IN ; u_{n+1}=\frac{5 u_{n}-4}{u_{n}+1}\)1) a)- calculer \(u_{1}\).b) Montrer par récurrence que: \((∀n∈IN ) ; u_{n}>2\).2)- a)- Vérifier que : \((∀n∈IN ) ; u_{n+1}-u_{n}=\frac{-(u_{n}-2)^{2}}{u_{n}+1}\).b)- En déduire la monotonie de \((u_{n})_{n∈IN }\),puis justifier qu'elle est convergente.3) On pose pour tout…

Exercice 1: (2 Pts) 1) Résoudre dans (IR) l'équation : (quad t^{2}-2 t-3=0).2) Déduire dans (IR) la solution de :* (quad e^{x}-2-frac{3}{e^{x}}=0)* (ln (x-2)+ln (x)>ln (3)).3) Résoudre dans (( R ^{+})^{2}) le système suivant:(left{begin{array}{l}ln left(x^{3}right)+5 ln (y)=-1 \ 2 ln left(x^{2}right)-ln left(y^{3}right)=2end{array}right.) Exercice 2: (4 Pts) On considère la suite…