Exercice 1 : (7.75 points)
Partie I
1-a) Montrer que : \(\forall t \in[0,+\infty[; \frac{4}{(2+t)^2} \leq \frac{1}{1+t} \leq \frac{1}{2}(1+\frac{1}{(1+t)^2})\)
b) En déduire que : \(\forall x \in[0,+\infty[; \frac{2 x}{2+x} \leq \ln (1+x) \leq \frac{1}{2}(\frac{x^2+2 x}{1+x})\)
2- Soit \(g\) la fonction numérique de la variable réelle \(x\) définie sur \(]0,+\infty[\) par :
\(g(x)=\frac{\ln (1+x)}{x}\)
Montrer que : \(\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} \frac{g(x)-1}{x}=\frac{-1}{2}\)
Partie II
Soit \(f\) la fonction numérique de la variable réelle \(x\) définie sur \([0,+\infty[\) par :
\(f(0)=1 \text { et } \forall x \in] 0,+\infty\left[; f(x)=g(x) e^{-x}\right.\)
On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repere orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\)
1- Calculer \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)\) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2- a) Montrer que \(f\) est continue à droite en 0
b) Vérifier que : \(\forall x \in] 0,+\infty\left[; \frac{f(x)-1}{x}=\left(\frac{e^{-x}-1}{x}\right) g(x)+\left(\frac{g(x)-1}{x}\right)\right.\)
c) En déduire que \(f\) est dérivable à droite en 0 et déterminer \(f_d^{\prime}(0)\)
3-Montrer que \(f\) est dérivable sur \(] 0,+\infty[\) puis que
\(\forall x \in] 0,+\infty[; f^{\prime}(x)=\frac{x-(1+x)^2 \ln (1+x)}{x^2(1+x)} e^{-x}.\)
4- a) Montrer que : \(\forall x \in] 0,+\infty\left[; \quad-\frac{3}{2}<\frac{x-(1+x)^2 \ln (1+x)}{x^2(1+x)}<0\right.\)
b) En déduire que : \(\forall x \in] 0,+\infty\left[; \quad-\frac{3}{2}<f^{\prime}(x)<0\right.\)
5- a) Dresser le tableau de variations de \(f\)
b) Construire la courbe \((C)\) en faisant apparaître la demi-tangente à droite au point d’abscisse 0.
(On prendra \(\|\dot{i}\|=2 \mathrm{~cm}\) )
Partie III
1- Montrer que l’équation d’inconnue \(x: f(x)=3 x\), admet une unique solution \(\alpha\) dans \(] 0,+\infty[\)
2- Soient \(\beta \in IR^{+}\) et \((u_n)_{n \in IN}\) la suite numérique définie par :
\(u_0=\beta \text { et } \forall n \in IN ; u_{n+1}=\frac{1}{3} f(u_n)\)
a) Montrer que: \(\forall n \in IN ; u_n \geq 0\)
b) Montrer que : \(\forall n \in IN:|u_{n+1}-\alpha| \leqslant \frac{1}{2}|u_{n-}-\alpha|\)
c) Montrer par recurrence que : \(\forall n \in IN ;|u_n-\alpha| \leqslant \frac{1}{2^n}|\beta-\alpha|\)
d) En déduire que la suite \((u_n)_{n \in IN}\) converge vers \(\alpha\)
Exercice 2 : (2.25 points)
On considère la fonction numérique: \(x \mapsto \rightarrow e^x\) et soit \((\Gamma)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
Pour tout \(n \in IN^*\) et pour tout \(k \in\left\{0 ; 1_{\ldots,-;} n\right\}\), on note \(M_1\) le point de la courbe (I) de coordonnées \((\frac{k}{n} ; e^{\frac{k}{n}})\)
1-a) Montrer que : \(\forall k \in\{0 ; 1 ; \ldots ;(n-1)\}\; \exists c_k \in] \frac{k}{n} ; \frac{k+1}{n}[\) tel que: \(e^{\frac{k+1}{n}}-e^{\frac{k}{n}}=\frac{1}{n}e^{c_k}\)
b) Montrer que : \(\forall k \in\{0 ; 1 ; \ldots,(n-1)\} ; \quad M_k M_{k+1}=\frac{1}{n} \sqrt{1+e^{2c_k}}\)
( \(M_k M_{k+1}\) désigne la distance de \(M_k\) à \(M_{k+1})\)
c) en déduire que : \(\forall k \in\{0;1; \ldots;(n-1)\} ; \quad \frac{1}{n} \sqrt{1+e^{\frac{2k}{n}}} \leqslant M_k M_{k+1} \leqslant \frac{1}{n} \sqrt{1+e{\frac{2(k+1)}{n}}}\)
2. Soit \((S_n)_{n \in IN^*}\) la suite numérique définie par: \(n \in IN^* ; S_n=\sum_{n=0}^{n-1} M_k M_{k+1}\)a) Vèrifier que \(n \in IN^*;\)
\(\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}\sqrt{1+e^{\frac{2k}{n}}} \leqslant S_n \leqslant \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1+e^{\frac{2k}{n}}}\)
a) En déduire que: \(\lim _n S_n=\int_0^1 \sqrt{1+e^{2 x}} dx\)
Exercice 3: (3.5 points)
On considère le nombre complexe : \(u=1+(2-\sqrt{3}) i\)
1-a) Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes: \(1-i\) et \(1+\sqrt{3} i\)
b) Montrer que : \(\frac{(1-i)(1+\sqrt{3} i)}{2 \sqrt{2}}=e^{i \frac{\pi}{12}}\)
c) En déduire que : \(\tan (\frac{\pi}{12})=2-\sqrt{3}\)
d) Montrer que : \(u=(\sqrt{6}-\sqrt{2}) e^{i\frac{\pi}{12}}\)
2- On considère les deux suites numériques \(x_n)_{n \in IN}\) et \(y_n)_{n \in IN}\) définie par \(\forall n \in IN\):
\(x_0=1\) et \(x_{n+1}=x_{n}-(2-\sqrt{3}) y_n \)
\(y_0=0\) et \(y_{n+1}=(2-\sqrt{3}) x_n+y_n \)
a) Montrer par récurrence que pour tout \(n \in IN\), \(x_n+i y_n=u^n\)
b) En déduire que pour tout \(n \in IN\):
\(x_n=\frac{\cos (\frac{n \pi}{12})}{(\cos \frac{\pi}{12})^n}\) et \(y_n=\frac{\sin \left(\frac{n \pi}{12}\right)^n}{\left(\cos \frac{\pi}{12}\right)^n}\)
3- Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O ; \vec{e}_1, \overrightarrow{e_2})\)
Pour tout entier naturel \(n\), on note \(A_n\) le point d’affixe \(u^n\)
a) Déterminer les entiers \(n\) pour lesquels les points \(O, A_0\) et \(A_n\) sont alignés.
b) Montrer que pour tout entier \(n\), le triangle \(OA_nA_{n+1}\) est rectangle en \(A_n\)
Exercice 4: (3 points)
Soit \(p\) un nombre premier impair.
On considère dans \(Z\) l’équation \((E): x^2 \equiv 2[p]\)
1- a) Montrer que : \(2^{p-1} \equiv 1[p]\)
b) En déduire que : \(2^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1[p]\) ou \(2^{\frac{p-1}{2}} \equiv-1 [p]\)
(On remarque que : \((2^{\frac{p-1}{2}}-1)(2^{\frac{p-1}{2}}+1)=2^{p-1}-1)\)
2- Soit \(x\) une solution de l’équation \((E)\)
a) Montrer que \(p\) et \(x\) sont premiers entre eux.
b) En déduire que : \(2^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1[p]\) (On pourra utiliser le théorème de Fermat)
3-Montrer que pour tout \(k \in\{1,2, \ldots, p-1\}, p\) divise \(C_p^k\)
(On rappelle que : \((\forall k \in\{1,2, \ldots, p-1\}) \quad C_p^k=\frac{p !}{k !(p-k) !}\) et que \(\left.: k C_p^k=p C_{p-1}^{k-1}\right)\)
4-a) En utilisant la formule de Moivre, montrer que :
\((1+i)^p=2^{\frac{p}{2}} \cos(p \frac{\pi}{4})+i 2^{\frac{p}{2}} \sin(p \frac{\pi}{4})\)
( \(i\) étant le nombre complexe tel que \(: i^2=-1\) )
b) On admet que :
\((1+i)^p=\sum_{k=0}^{k=\frac{p-1}{2}}(-1)^k C_p^{2 k}+i \sum_{k=0}^{k=\frac{p-1}{2}}(-1)^k C_p^{2 k+1}\)
Montrer que :
\(2^{\frac{p}{2}} \cos (p \frac{\pi}{4}) \in Z\) et \(2^{\frac{p}{2}} \cos (p \frac{\pi}{4}) \equiv 1[p]\)
(on pourra utiliser la question3-)
5-En déduire que si \(p \equiv 5[8]\) alors l’équation \((E)\) n’admet pas de solution dans \(Z\)
Exercice 5 : (3.5 poins)
On rappelle que \((M_2(IR),+,\times)\) est un anneau non commutatif
de zéro la matrice \(O=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)\)
et d’unité la matrice \(I=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\),
et que \(\left(M_2(\mathbb{R}),+,\right)\) est un espace vectoriel réel.
On considere l’ensemble \(E=\left\{M(x, y) \equiv\left(\begin{array}{cc}x+y & y \\ 2 y & x-y\end{array}\right) /(x, y) \in \mathbb{R}^2\right\}\)
Partie I:
1- Montrer que \(E\) est un sous-groupe de \(\left(M_2(\mathbb{R}),+\right)\)
2. Montrer que \(E\) est un sous- espace vectoricl de \(\left(M_2(\mathbb{R}),+,.\right)\)
3- a) Verifier que : \(\forall\left(x, y, x^{\prime}, y^{\prime \prime}\right) \in \mathbb{R}^4 ; M(x, y) \times M\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=M\left(x x^{\prime}+3 y y^{\prime}, x y^{\prime}+y x^{\prime}\right)\)
b) En déduire que \((E,+, \times)\) est un anneau commutatif et unitaire.
4-a) Vérifier que: \(M(\sqrt{3}, 1) \times M(-\sqrt{3}, 1)=O\)
b) En déduire que \((E,+, \times)\) n’est pas un corps.
Partie II :
Soient \(F \equiv\left\{x+y \sqrt{3} /(x, y) \in \mathbb{Q}^2\right\}\) et \(G=\left\{M(x, y)=\left(\begin{array}{cc}x+y & y \\ 2 y & x-y\end{array}\right) /(x, y) \in \mathbb{Q}^2\right\}\),
1- Montrer que : \(\forall(x, y) \in \mathbb{Q}^2 ; x+y \sqrt{3}=0\) si et seulement si \((x=0\) et \(y=0)\)
2- Montrer que \(F-\{0\}\) est un sous-groupe de \((\mathbb{R}^*, \times)\)
3- Soit \(\varphi\) l’application définie de \(F-\{0\}\) vers \(E\) par :
\(\forall(x, y) \in \mathbb{Q}^2-\{(0,0)\} ; \varphi(x+y \sqrt{3})=M(x, y)\)
a) Vérifier que : \(\varphi(F-\{0\})=G-\{O\}\)
b) Montrer que \(\varphi\) est un homomorphisme de \((F-\{0\}, \times)\) vers \((E, \times)\)
c) En déduire que \((G-\{O\}, \times)\) est un groupe commutatif.
4- Montrer que \((G,+, \times)\) est un corps commutatif.
