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AlgèbreOlympiadePréparatoire

Olympiade Math – Préparatoire – Algèbre 01

Olympiade Math
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Exercice 1:

sans utiliser la calculatrice calculer
\(\frac{2019}{2020}+\sqrt{\frac{2019^{2}}{2020^{2}}+2019^{2}+1}\)

on pose x=2020
et A=\(\frac{2019}{2020}+\sqrt{\frac{2019^{2}}{2020^{2}}+2019^{2}+1}\)
\(A=\frac{x-1}{x}+\sqrt{\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}}+(x-1)^{2}+1}\)
\(=\left(1-\frac{1}{x}\right)+\sqrt{\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}}+x^{2}-2 x+1+1}\)
\(=\left(1-\frac{1}{x}\right)+\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}+x^{2}-2 x+2}\)
\(=\left(1-\frac{1}{x}\right)+\sqrt{\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\right)-2\left(x+\frac{1}{x}\right)+1}\)
\(=\left(1-\frac{1}{x}\right)+\sqrt{\left(x+\frac{1}{x}-1\right)^{2}}\)
\(=1-\frac{1}{x}+x+\frac{1}{x}-1\)
\(=x=2020\)

Exercice 2:

1-Préciser les nombres a,b et c tel que :
\(2^{a} \times 5^{b} \times 7^{c}=700\)

2-a)- trouve les chiffres “y” tel que:
le nombre 3y6 divisible par 4.
(exemple si y=1 le nombre sera 316)
b)- Ecrit tous les nombres trouver dans a).
c) préciser parmi les ceux qui sont divisible par 9.

1) 
décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 700:
➝ 700=2²x5²
➝ a-2=0 & b-2=0 & c-1=0
Donc: a=2, b=2 et c=1.
2)
a) un nombre est divisible par 4
lorsque les deux chiffres de droite forment
un nombre multiple de 4.
y=1 316 divisible par 4.
b) 3y6 divisible par 4
➝ y6 divisible par 4
➝ y=1,3,5,7,9
➝ les nombres qui sont divisible par 4 sont:
” 316,336,356,376 ” 
c) un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un nombre multiple de 9.
* pour 316
on a:
3+1+6=10 316 n’est divisible par 9
* pour 336
on a:
3+3+6=12 336 n’est divisible par 9
* pour 356
on a:
3+5+6=14 356 n’est divisible par 9
* pour 376 on a 3+7+6=16 376 n’est divisible par 9

Exercice 3:

x et y deux nombres réels positifs.
Tel que si x < y
Monter que:
\(x<\sqrt{x y}<y\)

on a:
0< x < y ①
①×x
➝ 0<x྾x < x྾y
①×y
➝ 0<x×y < y²
donc: x²<xy < y²
Or (x>0 et y>0)
alors:
\(x<\sqrt{x y}<y\)

Exercice 4:

On pose:
\(A =\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times …\times \frac{99}{100}\)
\(B =\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times … \times \frac{98}{99}\)
a) Montrer que: \(A<B\).
b) Déduire que:
\(A<\frac{1}{10}<B\)

a)
on a:
3྾1=3<2྾2=4
\(\frac{1}{2}<\frac{2}{3}\)
de même pour
\(\frac{2}{3}<\frac{3}{4}\)
.
.
\(\frac{97}{98}<\frac{98}{99}\)
\(\frac{99}{100}<1\)
Nous effectuons les produits
▶️ A<B

b)
On a:
A྾(2྾4྾….100)=(1྾3….྾99)①
et 

B྾(3྾5྾….99)=(2྾4….྾98)②
①྾② ➝ A྾B྾100= 1
➝ A྾B= 1/100
d’après question a) on a A<B *
 ( *×A)
➝ A² < AB=1/100
➝ A² < 1/100
➝ A < 1/10
d’autre part  ( *×B):
➝ AB=1/100 < B²
➝ 1/100 < B²
➝1/10<B
▶️ A<1/10<B

Exercice 5:

Montrer que
Si \(\frac{a}{4}=\frac{b}{5}=\frac{c}{3}\)
alors \(\frac{a-b+c}{a+b-c}=\frac{1}{3}\)

On pose
\(A =\frac{a}{4}=\frac{b}{5}=\frac{c}{3}=k\)
→ \(a=4 k\), \(b=5 k\) et \(c=3 k\)
→ \(a+b-c=6 k\)
→ \(a-b+c=2 k\)
Donc
\(\frac{a-b+c}{a+b-c}=\frac{3k}{6k}=\frac{1}{3}\)

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