Olympiade Math – Débutant – Algèbre 01

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Exercice 1:

x,y,z trois nombres strictement positifs.
Montrer que :
\(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} ≥ x+y+z\).

On a: (x-y)²≥0
d’ où: x²+y²≥2xy
et par suite:
\(\frac{x^{2}+y^{2}}{y} \geq \frac{2 x y}{y}\)
(car: y>0)
donc:
\(\frac{x^{2}}{y}+y \geq 2 x\) ①
de même pour:
\(\frac{y^{2}}{z}+z \geq 2 y\) ②
\(\frac{z^{2}}{x}+x \geq 2 z\) ③
①+②+③
on conclut que:
\(\frac{x^{2}}{y}+y+\frac{y^{2}}{z}+z+\frac{z^{2}}{x}+x \geq 2 x+2 y+2 z\)
Donc:
\(\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x} \geq x+y+z\)

Exercice 2:

x,y deux nombres strictement positifs.
Montrez que :
\(\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{y^4+x^2} ≤ \frac{1}{xy}\).

On a:
\((x^{2}-y)^{2}≥0\)
➝ \(x^{4}+y^{2}≥2x^{2}y\)
➝ \(\frac{1}{x^{4}+y^{2}}≤\frac{1}{2 x^{2}y}\)
➝ \(\frac{x}{x^{4}+y^{2}}≤\frac{x}{2 x^{2}y}\)
➝ \(\frac{x}{x^{4}+y^{2}}≤\frac{1}{2 xy}\) ①

de même pour:
\(\frac{y}{y^{4}+x^{2}}≤\frac{1}{2 yx}\)②

①+② d’où:
\(\frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}≤\frac{1}{2 xy}+\frac{1}{2 yx}\)
Donc:
\(\frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}≤\frac{1}{xy}\).

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Exercice 3:

x,y deux nombres réels tel que : x + y = 1.
Montrez que :
xy ≤1/4.

On a:
x+y=1
⇾ (x+y)²=1
⇾ x²+2xy+y²=1
⇾ x²-2xy+y²=1-4xy
⇾ (x-y)²=1-4xy
⇾ 1-4xy ≥ 0
⇾ xy≤1/4

Exercice 4:

Montrer quex,y,z trois nombres réels positifs
tel que: 2(z²-y²) = 3x².
Trouvez le plus grande de ces trois nombres.

Sur la poseon a:
2(z²-y²) = 3x²
⇾ (z²-y²) = 3/ 2 x²
⇾ (z-y)(z+y) = 3/2 x² ⇾ z-y ≥ 0
⇾ z≥y ①

d’autre part:
2(z²-y²) = 3x²
⇾ 2z²-2y²= 3x²
⇾ 2z²-2x²= x²+2y²
⇾ z²-x²= (x²+2y²) / 2
⇾ (z-x)(z+x)= (x²+2y²) / 2
⇾ z-y ≥ 0
⇾ z≥x ②

Donc:
« Z  » est le plus grande de ces trois nombres

Exercice 5:

x,y,z trois nombres réels strictement positifs;
Montrer que :
\((x+y)(y+z)(z+x) ≥ 8xyz\).

On a:
\((\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2} ≥ 0\)
➝ \((x-2\sqrt{x}\sqrt{y}+y ≥ 0\)
➝ \((x+y≥ 2\sqrt{x}\sqrt{y}\) ①
de même pour:
\((y+z≥ 2\sqrt{y}\sqrt{z}\) ②
\((z+x≥ 2\sqrt{z}\sqrt{x}\) ③

①×②×③
Donc:
\((x+y)(y+z)(z+x) ≥ 8(\sqrt{x})^{2}(\sqrt{y})^{2}(\sqrt{z})^{2}\)
➝\((x+y)(y+z)(z+x) ≥ 8xyz\).

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