Exercice 1: (12 Pts)

Pour tout entier naturel \(n\), on considère la fonction \(f_{n }\) définie sur IR par :
\(f_{n}(x)=\frac{-2 e^{x}}{1+e^{x}}+n x\)
Soit \((C_{n})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
\((O, \vec{i}, \vec{j})\).
On prendra \(|\vec{i}|=\|\vec{j}\|= l cm\) )

Partie I :
1-a) Calculer \(\lim _{x➝+∞}(f_{n}(x)-n x+2)\)
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b) Montrer que:
la courbe \((C_{n})\) admet, en \(-∞\), une asymptote \((Δ_{n})\) dont on déterminera
une équation caractéristique.
2-a) Montrer que la fonction \(f_{n}\) est dérivable sur \(IR\)
et que \(∀x∈IR\):
\(f_{n}^{\prime}(x)=\frac{-2 e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}+n\)
b) Montrer que \(∀x∈IR\):
\(\frac{4 e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}≤ 1\)
c) En déduire le sens de variation de la fonction \(f_{n}\) sur \(IR\)
(On distinguera les deux cas: \(n=0\) et \(n≥1\) )

3-a) Déterminer l’équation de la tangente a la courbe \((C_{n})\)
au point \(I\) d’abscisse 0
b) Montrer que le point \(I\) est le seul point d’inflexion de la courbe \((C_{n})\)
4- Représenter graphiquement dans le même repère, les deux courbes \((C_{0})\) et \((C_{2})\).
5- Pour tout reel \(t>0\), on pose \(A(t)\) l’aire du domaine plan limité par:
\((C_{n})\) et les droites d’équations respectives: \(y=n x-2, x=0\) et \(x=t\)
a) Calculer \(A(t)\) pour tout \(t>0\)
b) Calculer \(\lim A(t)\)

Partie II :
On considère la suite \((u_{n})_{n≥0}\) définie par:
\(u_{0}=0\)
et \(∀n∈IN\) ; \(u_{n+1}=f_{0}(u_{n})\)
1-a) Montrer que I’équation \(f_{0}(x)=x\)
admet une unique solution \(α\) dans \(R\)
b) Montrer que \(∀x∈IR\):
\(|f_{0}^{\prime}(x)|≤ \frac{1}{2}\)
2-a) Montrer que \(∀n∈IN\):
\(|u_{n+1}-α|≤\frac{1}{2}|u_{n}-α|\)
b) En déduire que \(∀n∈IN\):
\( |u_{n}-α|≤ (\frac{1}{2})^{n}|α|\)
c) Montrer que la suite \((u_{n})_{n≥0}\) converge vers \(α\)

Partie III :

a suppose dans cette partie que \(n≥2\)
1-a) Montrer que pour tout entier \(n≥2\), il existe un unique réel \(x\),
solution de l’équation \(f_{n}(x)=0\)
b) Montrer que pour tout entier \(n≥2\), \(0<x_{n}<1\)
(On prendra \(\frac{2 e}{1+e}<1.47\) )
2-a) Montrer que pour tout entier \(n≥2\):
f_{n+1}(x_{n})>0\)
b) En déduire que la suite \((u_{n})_{n≥2}\) est strictement décroissante.
c) Montrer que la suite \((u_{n})_{n≥2}\) est convergente.
3-a) Montrer que pour tout entier \(n≥2\)
\(\frac{1}{n}<x_{n}<\frac{1}{n}(\frac{2e}{1+e})\)
b) En déduire \(\lim _{x➝+∞} x_{0}\),
puis montrer que \(\lim nx_{n}=1\)
4-a) Montrer que pour tout entier \(n≥2\),
on a:\(x_{n}≤ x_{2}\)
b) En déduire \(\lim (x_{n})^{n}\)

Exercice 2: (4 Pts)

Soient \(a, b\) et \(c\) trois nombres complexes non nuls
tel que: \(a+b≠c\)
1-a) Résoudre dans l’ensemble C l’équation d’inconnue \(z\)
\((E): z^{2}-(a+b+c) z+c(a+b)=0\)
b) On suppose dans cette question que: \(a=i, b=e^{i\frac{π}{3}}\) et \(c=a-b\)
Ecrire les deux solutions de l’équation \((E)\) sous forme exponentielle.
2- Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((0, \vec{u}, \vec{v})\).
On considère les trois points \(A(a), B(b)\) et \(C(c)\) qu’on suppose non alignes.
Soient \(P(p)\) le centre de la rotation d’angle \(\frac{\pi}{2}\) qui transforme \(B\) en \(A\)
et \(Q(q)\) le centre de la rotation d’angle \((-\frac{\pi}{2})\) qui transforme \(C\) en \(A\)
et \(D(d)\) le milieu du segment \([BC]\)
a) Montrer que:
\(2 p=b+a+(a-b) i\) et \(2 q=c+a+(c-a) i\)
b) Calculer : \(\frac{p-d}{q-d}\)
c) En déduire la nature du triangle \(PDQ\)

3- Soient \(E\) le symétrique de \(B\) par rapport à \(P\)
et \(F\) le symétrique de \(C\) par rapport
à \(Q\) et \(K\) le milieu du segment \([EF]\)
a) Montrer que l’affixe de \(K\) est \(k=a+\frac{i}{2}(c-b)\)
b) Montrer que les points \(K, P, Q\) et \(D\) sont cocycliques.

Exercice 3: (4 Pts)

Partie I :
On considère dans \(Z × Z\) l’équation \((E): 47x-43 y=1\)
I- Vérifier que le couple ( 11,12 ) est une solution particulière de l’équation \((E)\)
2- Résoudre dans \(Z × Z\). l’équation \((E)\)
Partie II :
On considère dans \(Z\) I’équation \((F): x^{41}=4\) [43]
1-Soit \(x∈Z\) une solution de l’équation \((F)\)
a) Montrer que \(x\) et 43 sont premiers entre eux,
en déduire que: \(x^{42}=1\) [43]
b) Montrer que: \(4 x=1 \quad[43]\),
en déduire que : \(x=11\) [43]
2- Donner l’ensemble des solutions dans \(Z\) de l’équation ( \(F\) )
Partie III :
On considère dans Z le système à deux équations suivant \((S)\):
\(\left\{\begin{array}{l}x^{41}=4[43] \\ x^{47}=10[47]\end{array}\right.\)
1-Soit \(x\) une solution du système (S)
a) Montrer que \(x\) est solution du système \((S^{\prime})\):
\(\left\{\begin{array}{l}x=11[43] \\ x=10[47]\end{array}\right.\)
b) En déduire que: \(x=527[2021]\)
(On pourra utiliser la partie I)
2- Donner I’ensemble des solutions dans \(Z\) du système (S)