Partie I: On considère dans \(Z×Z\) l’équation suivante: \((E): 17 x-11 y=2021\) 1. Montrer que: si \((x, y)\) est une solution de \((E)\) alors \(x ≡ 5[11]\). 2. Résoudre dans \(Z×Z\) l’équation \((E)\).
Partie II: Soit \(p\) un entier naturel premier tel que \(p ≥ 3\), différent de 43 et 47. On admet que : \(2021=43×47\) On considère dans \(Z×Z\) I’équation suivante : \((E_{p}): 17 x^{p-1}-11 y^{p-1}=2021\) 1. Soit \((x, y)∈Z×Z\) une solution de l’équation \((E_{p})\) a. Montrer que pour tout entier \(a\), on a : \( a^{p-1} ≡ 0[p]\) ou \(a^{p-1} ≡ 1[p]\). b. Vérifier que \(p\) et 2021 sont premiers entre eux. c. En déduire que: \(x˄p=1\) ou \(y˄p=1\). d. Montrer que: \(17 x^{p-1}-11 y^{p-1} ≡-11[p]\) ou \(17 x^{p-1}-11 y^{β-1} ≡ 6[p]\) ou \(17 x^{p-1}-11 y^{p-1} ≡ 17[p]\) . 2. Déduire des questions précédentes que: l’équation \((E_{17})\) n’admet pas de solution dans \(Z×Z\)
Exercice 2: (4 Pts)
Partie I: On considère dans \(ℂ\), l’équation d’inconnue définie par: \((E): z^{2}-(1+5 i) z-8+4 i=0\) 1. Déterminer les racines carrées du nombre complexe \(8-6 i\). 2. Résoudre dans l’ensemble \(ℂ\) l’équation \((E)\) Partie II: Dans le plan complexe est rapporté ả un repère orthonormé direct \((O \vec{i}, \vec{j})\), on considère: \(A, B, C\) et \(M\) les points d’affixes respectives: \(z_{A}=i, z_{B}=2+2 i\), \(z_{C}=-1+3 i\) et \(z_{M}=m\) où \(m∈ℂ ^{*}\) 1. a. Déterminer l’ensemble des points \(M(m)\) pour que les points \(O,C\) et \(M\) soient alignés. b. En déduire l’ensemble des points \(M(m)\) tels que: \(OCM\) soit un triangle rectangle en \(O\)
2. Montrer que le triangle \(A B C\) est rectangle et isocèle en \(A\). 3. On considère la rotation \(R\) de centre \(A\) et d’angle \(\frac{π }{2}\) et l »homothétie \(H\) de centre \(A\) et de rapport -2. a. Déterminer l’écriture complexe des transformations \(R\) et \(H\). b. Montrer que l’écriture complexe de la transformation \(T=R \circ H\) est \(z^{\prime}-i=-2 i(z-i)\) c. Soit \(C\) l’image du point \(C\) par la transformation \(T\). Montrer que les points \(A, B\) et \(C\) sont colinéaires. 4. Déterminer l’ensemble des points \(M(m)\) tels que: les points \(A, B, C\) et \(M\) soient cocycliques
Exercice 3:(6,25 Pts)
Soit \(n\) un entier naturel. on considère la fonction numérique \(g_{n}\) définie sur l’intervalle \([0,+∞[\) par : \(g_{n}(0)=n\) et \(∀x>0: g_{n}(x)=n-x\ln (x)\) et soit \((C_{g_{n}})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
Partie I: 1. a. Montrer que la fonction \(g_{n}\) est continue à droite au point 0. b. Etudier la dérivabilité de la fonction \(g_{n}\) à droite au point 0. c. Calculer \(g_{n}^{\prime}(x)\) pour tout \(x\) de \(] 0,+∞[\), puis étudier les variations de la fonction \(g_{n}\). 2. Etudier la branche infinie en \(+∞\). 3. Tracer la courbe \((C_{g_{1}})\). (On prend : \(||i||=1 cm\) ) 4. Calculer en \(cm ^{2}\), l’aire du domaine plan limité par la courbe \(( C _{g_{1}})\) et l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives: \(x=\frac{1}{e^{2}}\) et \(x=1\).
Partie II: On pose : \(f=g_{0}\), et soit \(n\) un entier naturel tel que \(n ≥ 3\). 1. Montrer que l’équation \(f(x)=\frac{1}{n}\) admet exactement deux solutions \(x_{n}\) et \(y_{n}\) tels que : \(0<x_{n}<\frac{1}{e}<y_{n}<1\). 2. a. Montrer que la suite \((x_{n})_{n ≥ 3}\) est convergente b. Montrer que \(∀n ≥ 3\): \(x_{n}<\frac{1}{n}\), puis déduire \(\lim_{n ➝+∞} x_{n}\). 3. a. Montrer que \(∀n ≥ 3\): \( 2 \ln x≤ x\), puis déduire \(∀n ≥ 3\): \(\frac{1}{n^{2}}≤ x_{n}\). b. Montrer que \(∀n ≥ 3\): \(\ln (x_{n}) ≥-\ln n-\ln (2)-\ln (\ln n)\). c. En déduire que: \(\lim _{n ➝+∞} \frac{\ln (x_{n})}{\ln n}=-1\). 4. a. Montrer que la suite \((y_{n})_{n ≥ 3}\) converge et que \(\lim _{n ➝+∞} y_{n}=1\). b. Montrer que \(∀n ≥ 3, ∃ c_{n}∈] y_{n},I[\): \(\frac{y_{n}-1}{\ln (y_{n})}=c_{n}\). c. En déduire que: \(\lim _{n ➝+∞} n(y_{n}-1)=-1\).
Exercice 4:(5,75 Pts)
On considère la fonction numérique \(F\) définie sur \([1,+∞[\) par \(F(1)=-\ln 2\) et \(∀x>1\): \(F(x)=\int_{x^{2}}^{x} \frac{t-1}{\ln ^{2}(t)} dt\) et soit \((C_{F})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\). 1. Soit \(h\) la fonction numérique définie sur l’intervalle \([1,+∞[\) par : \(h(1)=1\) et \((∀x∈]1,+∞[) ; h(x)=\frac{x-1}{\ln x}\) a. Montrer que: la fonction \(h\) est continue sur l’intervalle \([1,+∞[\) b. Vérifier que pour tout \(x\) de \(]1,+∞[.\) on a : \(\int_{x}^{x^{2}} \frac{1}{t \ln t} dt=\ln 2\). c. En utilisant la technique de l’intégration par partie, montrer que : \((∀x∈] 1,+∞[) ; F(x)-F(1)=\frac{x(x-1)(x+2)}{2} h(x)-\int_{x}^{x^{2}} \frac{2 t+1}{t} h(t) dt\) d. Déduire que \(F\) est continue a droite en 1 . 2. a. Montrer que la fonction \(F\) est dérivable sur l’intervalle \(]I _{5},+∞[\) puis calculer la dérivé premier \(F^{\prime}\) de la fonction \(F\). b. En utilisant le théorème des accroissements finis deux fois, montrer que: \((∀x∈] 1,+∞[)(∃(α ; β)∈(] 1, x[)^{2})(α>β)\) \(F(x)-F(1)=\frac{(1-x)(α+2)}{2} β^{2}\) c. Montrer que: la fonction \(F\) est dérivable à droite en 1 et calculer \(F_{d}^{\prime}( I )\). 3. a. Montrer que \((∀x∈]1,+∞[)(∃ c_{x}∈[x,x^{2}])\): \(F(x)=(x-x^{2}) \frac{c_{x}-1}{\ln ^{2}(c_{x})}\). b. En déduire que \(∀x∈]1,+∞[\): \(F(x)≤ -x(\frac{h(x)}{2})^{2}\). c. Calculer \(\lim _{x ➝+∞} F(x)\) et \(\lim _{x ➝+∞} \frac{F(x)}{x}\), puis interpréter géométriquement le résultat obtenu. 4. a. Donner le tableau de variations de \(F\). b. Tracer la courbe \((C_{F}).\) (On prend: \(||i||=1 cm\) ).
By Prof. Abdelali Tajjiou
Examen National Math Bac 2 Science Mathématiques Bac Blan 2021:
correction de Examen National Math Bac 2 SM 2021 Bac Blanc 5
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