Exercice 1: (3 Pts)

I.
On considère dans \(C\) l’équation d’inconnue \(Z\) définie par:
\(( E ): z^{2}-\sqrt{3} z+1=0\)
1) Résoudre dans \(C\) l’équation \((E)\).
2) Déterminer une écriture exponentielle de chacune des solutions de l’équation \((E)\).
3) Montrer que:
\((z_{1}^{2021}+z_{2}^{2021}) ∈ IR\)
II.
Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormé direct \(( O;\vec{u};\vec{v})\).
On considère les points \(A;B\) et \(\bar{C}\) d’affures respectives:
\(z_{A}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i ;
z_{B}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} i\)
et \(z_{C}=\sqrt{3}\).
Et soit \(R\) la Rotation de centre \(A\) et d’angle \(\frac{-2 \pi}{3}\).
1) a) Ecrire le nombre complexe \(\frac{z_{A}-z_{C}}{z_{B}-z_{C}}\)
sous forme trigonométrique.
b) En déduire la nature du triangle \(ABC\).
2) Soit \(D\) limage du point \(B\) par la rotation \(R\).
Montrer que l’affixe du point \(D\) est \(z _{ D }=\sqrt{ 3 }- i\)
3) Déterminer la nature du quadrilatee \(ABCD\).
4) Déterminer les valeurs de l’entier naturel \(n\) pour que:
le nombre \((\frac{z_{A}}{z_{B}})^{n}\) soit un réel positif.

Exercice 2: (3 Pts)

Soit \((U_{n})\) la suite définie par:
\(U_{0}=2\)
∀n∈N: \(U_{n+1}=\frac{3 U_{n}-1}{2 U_{n}}\).
1) Montrer que ∀n∈IN:
\(U_{n}>1\).
2) a) Mantrer que ∀n∈IN:
\(U_{n+1}-U_{n}=\frac{(U_{n}-1)(1-2 U_{n})}{2 U_{n}}\).
b) Etudier la monotonie de la suite \(( U _{n})\).
Que peut-on en déduire?
3) a) Montrer que ∀n∈IN :
\( U_{n+1}-1<\frac{1}{2}(U_{n}-1)\).
b) En déduire que ∀n∈IN :
\(U_{n}-1<(\frac{1}{2})^{n}\).
c) Déterminer la limite de la suite \((U_{n})\).
4) On considère la suite \((V_{n})\) définie par ∀n∈IN :
\(V_{n}=\frac{U_{n}-1}{2 U_{n}-1}\)
a) Montrer que:
\(V_{n}\) ) est une suite géométrique de raison \(\frac{1}{2}\)
b) Calculer \(V_{n}\) et \(U_{n}\) en fonction de \(n\).
4) Calculer en fonction de \(n\) la somme:
\(S_{n}=\frac{V_{0}-1}{U_{0}}+\frac{V_{1}-1}{U_{1}}+…+\frac{V_{n}-1}{U_{n}}\)

Exercice 3: (3 Pts)

partie 1 :
On considère la fonction \(g\) définie sur \(] 0 ;+∞[.\) par:
\(g (x)=x^{2}-2+\ln (x)\).
1) Calculer les limites:
\(\lim _{x➝ 0^{+}} g(x)\) et \(\lim _{x➝+∞} g(x)\).
2) Etudier les variations de la fonction \(g\)
puis dresser son tableau de variation.
3) a) Montrer que l’équation \(g ( x )= 0\)
admet une solution unique \(\alpha\) dans l’intervalle \(]0;+∞[\)
b) Montrer que \(1<\alpha<\frac{3}{2}\);
puis déterminons un encadrement de \(\alpha\) de longueur \(25×1 0 ^{-2}\)
4) Déduire le signe de \(g ( x )\) sur chacun des intervalles \(] 0 ; \alpha ]\) et \([ \alpha ;+∞[.\)

partie 2 :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(] 0 ;+∞[.\) par:
\(f(x)=x+\frac{1}{x}-\frac{\ln (x)}{x}\)
soit \(( C _{f})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \(( o ; \vec{i} ; \vec{j})\).
1) Calculer: \(\lim _{x➝ 0^{+}} f(x)\),
et interpréter géométriquement ce résultat.
2) a) Vérifier que: \(\lim _{x➝+∞} f(x)=+∞\).
b) Montrer que la droite \(( D )\) d’équation \(y = x\) est une asymptote
à la courbe \(( C _{ f })\) au voisinage de \(+∞\).
c) Determiner la position relative de la droite \((D)\) et la courbe \(( C _{f})\).
3) a) Montrer que \((∀x∈]0;+∞[\) :
\(f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{x^{2}}\).
b) Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0;+∞[\).
4) Soit \(h\) la restriction de \(f\) à \(I =[\alpha,+∞[\)
a) Montrer que:
\(h\) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Montrer que:
\(h^{-1}\) est dérivable en \(e\) puis calculer \(( h ^{-1})^{\prime}(e) \)
(remarquer que \(h( e )= e )\)
5) a- Vérifier que:
\(f ( \alpha )=2 \alpha-\frac{ 1 }{\alpha}\)
b) Tracer dans le même repère les courbes \(( C _{f})\)
et \(( C _{h^{-1}})\). On prend \(\alpha \approx 1,2\) )
6) a) Vérifier que:
la fonction \(x \mapsto \frac{1}{2} \ln ^{2}(x)\) est une fonction primitive
de la fonction \(x \mapsto \frac{\ln (x)}{x}\) sur l’intervalle \(]0;+∞[\)
b) Calculer en \(cm ^{2}\) l’aire du domaine plan limité par \(( C _{ f }) ;\)
l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=e\).

By Prof. Youness BABA