Examen National Math Bac 2 science physique 2021 Bac Blanc 9
Exercice 1: (3 Pts)
I. On considère dans \(C\) l’équation d’inconnue \(Z\) définie par: \(( E ): z^{2}-\sqrt{3} z+1=0\) 1) Résoudre dans \(C\) l’équation \((E)\). 2) Déterminer une écriture exponentielle de chacune des solutions de l’équation \((E)\). 3) Montrer que: \((z_{1}^{2021}+z_{2}^{2021}) ∈ IR\) II. Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormé direct \(( O;\vec{u};\vec{v})\). On considère les points \(A;B\) et \(\bar{C}\) d’affures respectives: \(z_{A}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i ; z_{B}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} i\) et \(z_{C}=\sqrt{3}\). Et soit \(R\) la Rotation de centre \(A\) et d’angle \(\frac{-2 \pi}{3}\). 1) a) Ecrire le nombre complexe \(\frac{z_{A}-z_{C}}{z_{B}-z_{C}}\) sous forme trigonométrique. b) En déduire la nature du triangle \(ABC\). 2) Soit \(D\) limage du point \(B\) par la rotation \(R\). Montrer que l’affixe du point \(D\) est \(z _{ D }=\sqrt{ 3 }- i\) 3) Déterminer la nature du quadrilatee \(ABCD\). 4) Déterminer les valeurs de l’entier naturel \(n\) pour que: le nombre \((\frac{z_{A}}{z_{B}})^{n}\) soit un réel positif.
Exercice 2: (3 Pts)
Soit \((U_{n})\) la suite définie par: \(U_{0}=2\) ∀n∈N: \(U_{n+1}=\frac{3 U_{n}-1}{2 U_{n}}\). 1) Montrer que ∀n∈IN: \(U_{n}>1\). 2) a) Mantrer que ∀n∈IN: \(U_{n+1}-U_{n}=\frac{(U_{n}-1)(1-2 U_{n})}{2 U_{n}}\). b) Etudier la monotonie de la suite \(( U _{n})\). Que peut-on en déduire? 3) a) Montrer que ∀n∈IN : \( U_{n+1}-1<\frac{1}{2}(U_{n}-1)\). b) En déduire que ∀n∈IN : \(U_{n}-1<(\frac{1}{2})^{n}\). c) Déterminer la limite de la suite \((U_{n})\). 4) On considère la suite \((V_{n})\) définie par ∀n∈IN : \(V_{n}=\frac{U_{n}-1}{2 U_{n}-1}\) a) Montrer que: \(V_{n}\) ) est une suite géométrique de raison \(\frac{1}{2}\) b) Calculer \(V_{n}\) et \(U_{n}\) en fonction de \(n\). 4) Calculer en fonction de \(n\) la somme: \(S_{n}=\frac{V_{0}-1}{U_{0}}+\frac{V_{1}-1}{U_{1}}+…+\frac{V_{n}-1}{U_{n}}\)
Exercice 3:(3 Pts)
partie 1 : On considère la fonction \(g\) définie sur \(] 0 ;+∞[.\) par: \(g (x)=x^{2}-2+\ln (x)\). 1) Calculer les limites: \(\lim _{x➝ 0^{+}} g(x)\) et \(\lim _{x➝+∞} g(x)\). 2) Etudier les variations de la fonction \(g\) puis dresser son tableau de variation. 3) a) Montrer que l’équation \(g ( x )= 0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans l’intervalle \(]0;+∞[\) b) Montrer que \(1<\alpha<\frac{3}{2}\); puis déterminons un encadrement de \(\alpha\) de longueur \(25×1 0 ^{-2}\) 4) Déduire le signe de \(g ( x )\) sur chacun des intervalles \(] 0 ; \alpha ]\) et \([ \alpha ;+∞[.\)
partie 2 : Soit \(f\) la fonction définie sur \(] 0 ;+∞[.\) par: \(f(x)=x+\frac{1}{x}-\frac{\ln (x)}{x}\) soit \(( C _{f})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \(( o ; \vec{i} ; \vec{j})\). 1) Calculer: \(\lim _{x➝ 0^{+}} f(x)\), et interpréter géométriquement ce résultat. 2) a) Vérifier que: \(\lim _{x➝+∞} f(x)=+∞\). b) Montrer que la droite \(( D )\) d’équation \(y = x\) est une asymptote à la courbe \(( C _{ f })\) au voisinage de \(+∞\). c) Determiner la position relative de la droite \((D)\) et la courbe \(( C _{f})\). 3) a) Montrer que \((∀x∈]0;+∞[\) : \(f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{x^{2}}\). b) Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0;+∞[\). 4) Soit \(h\) la restriction de \(f\) à \(I =[\alpha,+∞[\) a) Montrer que: \(h\) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle \(J\) à déterminer. b) Montrer que: \(h^{-1}\) est dérivable en \(e\) puis calculer \(( h ^{-1})^{\prime}(e) \) (remarquer que \(h( e )= e )\) 5) a- Vérifier que: \(f ( \alpha )=2 \alpha-\frac{ 1 }{\alpha}\) b) Tracer dans le même repère les courbes \(( C _{f})\) et \(( C _{h^{-1}})\). On prend \(\alpha \approx 1,2\) ) 6) a) Vérifier que: la fonction \(x \mapsto \frac{1}{2} \ln ^{2}(x)\) est une fonction primitive de la fonction \(x \mapsto \frac{\ln (x)}{x}\) sur l’intervalle \(]0;+∞[\) b) Calculer en \(cm ^{2}\) l’aire du domaine plan limité par \(( C _{ f }) ;\) l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=e\).
By Prof. Youness BABA
Examen National Math Bac 2 Science Physique 2021 Bac Blan: