Exercice 1: (5 Pts)
I.
On considère dans \(C\) l’équation d’inconnue \(Z\) définie par:
\((E): z^{4}-6 z^{3}+24 z^{2}-18 z+63=0\)
1) Vérifier que :
\(z^{4}-6 z^{3}+24 z^{2}-18 z+63=(z^{2}+3)(z^{2}-6 z+21)\).
2) Résoudre dans \(C\) l’équation \(( E )\).
II.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
\(( O ; \vec{ u } ; \vec{ v })\).
On considère les points \(A ; B ; C\) et \(D\) d’affixes respectives:
\(z _{ A }= i \sqrt{ 3 } ; z _{ B }=- i \sqrt{ 3 } ; z _{ C }= 3 -2 i \sqrt{ 3 }\)
et \(z _{ D }=\overline{ z _{ C }}\).
1) Soit \(E\) le point symétrique du point \(C\) par rapport au point \(O\).
a) Montrer que l’affixe du point \(E\) est \(z _{ E }=- 3 + 2 i \sqrt{ 3 }\)
b) Ecrire le nombre complexe \(\frac{z_{D}-z_{B}}{z_{E}-z_{B}}\)
sous forme trigonométrique.
c) En déduire la nature du triangle \(BED\).
2) Montrer que:
les points \(A ; B ; C\) et \(D\) appartiennent à un même cercle
dont on précisera lerayon et l’affixe de son centre et son rayon.
3) Vérifier que \(\frac{z_{C}-z_{A}}{z_{D}-z_{A}}∈ i R\) et interpréter ce résultat.
Exercice 2: (4 Pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(I=[ 2 ;+∞[\) par:
\(f ( x )=\frac{ x ^{2}+ 4}{2 x}\)
1) Montrer que:
\(f\) est continue et strictement croissante sur l’intervalle \(I\).
2) Déterminer \(f ( I )\).
3) Soit \(( U _{ n })\) la suite définie par:
\(U _{ 0 }=\frac{ 5 }{2}\)
et ∀n∈ IN : \(U _{ n + 1 }= f ( U _{ n })\)
a) Montrer que ∀n∈ IN : \(U _{ n } \geq 2\).
b) Etudier la monotonie de la suite \(( U _{ n })\).
c) En déduire que la suite \(( U _{ n })\) est convergente.
d) Calculer \(\lim _{n ➝+∞} U _{ n }\).
Exercice 3: (9 Pts)
Partie 1:
On considère la fonction \(g\) définie sur IR par:
\(g ( x )=( 1-x ) e^{x}- 1\)
1) Calculer:
\(\lim _{x ➝+∞} g(x)\) et \(\lim _{x ➝-∞} g(x)\).
2) Etudier les variations de la fonction \(g\) sur \(R\)
puis dresser son tableau de variation.
3) Déduire le signe de \(g ( x )\) sur l’intervalle \(]-∞ ;+∞[\)
Partie 2:
Soit \(f\) lafonction définie sur IR par :
\(f ( 0 )= 3\)
\(f ( x )=\frac{ x }{ e ^{x}- 1 }+2\) si \(x \neq 0\) .
Et soit \(( C _{ f })\) sa courbe représentative
dans un repère orthonormé \(( o ; \vec{i} ; \vec{j})\)
1) Montrer que la fonction \(f\) est continue en \(0\).
2) Calculer \(\lim _{x ➝+∞} f ( x )\),
et interpréter géométriquement ce résultat.
3) a) Calculer:
\(\lim _{x ➝-∞} f(x)\) et \(\lim _{x ➝-∞} \frac{f(x)}{x}\)
b) Montrer que:
la droite \(( D )\) d’équation \(y =- x +2\) est une asymptote
à la courbe \(( C _{ f })\) au voisinage de \(-∞\)
c) Etudier la position relation de la courbe \(( C _{ f })\) et la droite \(( D )\).
4) a) Montrer que:
\((\forall x∈ D_{f}): f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{(e^{x}-1)^{2}}\)
b) Dresser le tableau de variation de \(f\)
5) Donner l’équation cartésienne de la tangente \(( T )\)
au point d’abscisse \(0\).
6) Construire \(( T )\) et \(( C _{ f })\).
7) Résoudre graphiquement dans l’intervalle \(] 0 ;+∞[.\)
Exercice 4: (2Pts)
1) Montrer que:
\(\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^{2}} d x=\frac{1}{2} \ln 2\)
2) a) Vérifier que pour tout \(x\) de IR :
\(\frac{x^{3}}{ 1 + x ^{2}}= x -\frac{ x }{ 1 + x ^{2}}\)
b) Calculer l’intégral \(\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{1+x^{2}} d x\)
3) A l’aide d’une intégration par parties,
montrer que: \(\int_{0}^{1} x \ln (1+x^{2}) d x=\ln 2-\frac{1}{2}\).
By. Prof Younes Baba