Examen Math bac 2 SM 2021 Bac Blanc 2 Avec Correction
Exercice 1: (3 Pts)
Thème Analyse :
Partie A: On considère la fonction \(f\) définie sur \([0,+∞[\) par : si \(x>0 \): \(f(x)=(1+\frac{1}{x}) e^{-\frac{1}{x}}\) f(0)=0 Soit la courbe de \(f\) dans un repère orthonormé \(( O; \vec{ i }, \vec{ j })\) (unité graphique : \(2 cm\) ) 1) Montrer que: \(f\) est continue et dérivable à droite en \(0 .\) 2- a) Calculer \(\lim _{x➝+∞} f(x)\) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu. b) Dresser le tableau de variation de \(f\). 3-a) Montrer que: \(C\) admet un point d’inflexion que l’on précisera. b) Construire \(C ;\) en prend \(: f(1) \approx 0.7\) et \(4 e ^{-3} \approx 0.2\)
Partie B : On considère la fonction \(F\) définie sur \([0,+∞[\) par: \(F(x)=\int_{x}^{1} f(t) dt\) 1-1) Montrer que: \(F\) est continue sur \(0 ,+∞[ \) 2-a) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que ∀x>0: \(\int_{x}^{1}(e^{-\frac{1}{t}}) dt=e^{-1}-x \cdot e^{-\frac{1}{x}}-\int_{x}^{1}(\frac{1}{t} e^{-\frac{1}{t}}) dt\) b) Pour \(x>0 ;\) calculer : \(\int_{x}^{1}(1+\frac{1}{t}) e ^{-\frac{1}{t}} d t\). Puis montrer que: \(\lim _{x ➝ 0^{+}}\int_{x}^{1} f(x) d x=\frac{1}{e}\). 3) On considère la suite \((u_{n})\) définie sur \(N\) par: \(u_{n}=F(n)-F(n+2)\) a) En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que : \((∀n∈ N )(∃ v_{n}∈] n, n+2[), u_{n}=2(1+\frac{1}{v_{n}}) e ^{-\frac{1}{v_{n}}}\) b) Montrer que \(∀n∈IN ^{*} \): \(2(1+\frac{1}{n}) e ^{-\frac{1}{n}}<u_{n}<2(1+\frac{1}{n+2}) e ^{-\frac{1}{n+2}}\). En déduire \(\lim _{n ➝+∞} u_{n}\).
Partie C: 1-a) Montrer que: \((∀n∈IN ^{*})(∃! α_{n}>0), f(α_{n})= e ^{-\frac{1}{n}}\) b) Montrer que la suite \((α_{n})\) est croissante. c) Justifier que \(∀n∈IN ^{*} \) on a : \(-\frac{1}{α_{n}}+\ln (1+\frac{1}{α_{n}})=-\frac{1}{n}\) 2-a) Montrer que \(∀ t \geq 0,1-t≤ \frac{1}{1+t}≤ 1-t+t^{2}\) b) En déduire que: \((∀x \geq 0),-\frac{x^{2}}{2}≤ -x+\ln (1+x)≤ -\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}\) 3) Soit \(n\) un entier tel que \(n \geq 4\) a) Vérifier que \(α_{4} \geq 1\) puis déduire que \(α_{n} \geq 1\) sachant que \(e ^{\frac{3}{4}} \geq 2\) b) Montrer que : \(1-\frac{2}{3 α_{n}}≤ \frac{2 α_{n}^{2}}{n}≤ 1 .\) (On peut utiliser : (1-c) et (2-b) partie C: c) Montrer que : \(\sqrt{\frac{n}{6}}≤ α_{n} .\) En déduire \(\lim _{n ➝+∞} α_{n}\) d) Calculer: \(\lim _{n ➝+∞}(α_{n} \sqrt{\frac{2}{n}})\)
Exercice 2: (3 Pts)
Thème Arithmétiques:
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A : Afin de crypter un message, on utilise un chiffrement affine Chaque lettre de l’alphabet est associée à un nombre entier comme indiqué dans le tableau ci-dessous:
Soit \(x\) le nombre associé à la lettre à coder. On détermine le reste \(y\) de la division euclidienne de \(7 x+5\) par 26 , puis on en déduit la lettre associée à \(y\) (c’est elle qui code la lettre d’origine). Exemple : M correspond à \(x=12 .\) On a \(7×12+5=89\) Or \(89 ≡ 11[26]\) et 11 correspond à la lettre \(L_{2}\) donc la lettre M est codée par la lettre L. 1) Coder la lettre L. 2-a) Soit \(k\) un entier relatif. Montrer que si \(k ≡ 7 x[26]\) alors \(15 k ≡ x[26]\). b) Démontrer la réciproque de l’implication précédente. c) En déduire que \(y ≡ 7 x+5\) [26] équivaut à \(x ≡ 15 y+3[26]\). 3) À l’aide de la question précédente décoder la lettre \(F\).
Partie B : On considère les suites \((a_{n})\) et \((b_{n})\) telles que: \(a_{0}\) et \(b_{0}\) sont des entiers compris entre 0 et 25 inclus et pour tout entier naturel: \(n, a_{n+1}=7 a_{n}+5\) et \(b_{n+1}=15 b_{n}+3\). Montrer que pour tout entier naturel \(n\): \(a _{n}=(a_{0}+\frac{5}{6})×7^{n}-\frac{5}{6}\). On admet pour la suite du problème que: \((∀n∈ N ), b_{n}=(b_{0}+\frac{3}{14})×15^{n}-\frac{3}{14}\).
Exercice 3: (3 Pts)
Thème Nombres complexes:
On considère les nombres complexes \(z_{n}\) définis, pour tout entier naturel \(n\), par: \(z_{0}=1\) et \(z_{n+1}=(1+ i \frac{\sqrt{3}}{3}) z_{n}\) On note \(A_{n}\) le point d’affixe \(z_{n}\) dans le repère orthonormé \(( O ; \vec{ u }, \vec{ v })\) de l’annexe. L’objet de cet exercice est d’étudier la construction des points \(A_{n}\) 1-a) Vérifier que: \(1+ i \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2}{\sqrt{3}} e ^{ i \frac{\pi}{6}}\). b) En déduire: \(z_{1}\) et \(z_{2}\) sous forme exponentielle. 2-a) Montrer que pour tout entier naturel n: \(z_{n}=(\frac{2}{\sqrt{3}})^{n} e ^{ i n \frac{\pi}{6}}\). b) Pour quelles valeurs de \(n\), les points \(O , A_{0}\) et \(A_{n}\) sont-ils alignés?
3) Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(d _{ n }=|z_{n+1}-z_{n}|\). a) Interpréter géométriquement \(d_{n}\). b) Calculer \(d_{0}\). c) Montrer que ∀n∈ IN ^{*}: \(z_{n+2}-z_{n+1}=(1+ i \frac{\sqrt{3}}{3})(z_{n+1}-z_{n})\). d) En déduire que la suite \((d_{n})_{n \geqslant 0}\) est géométrique puis que ∀n∈ IN : \(d_{n}=\frac{\sqrt{3}}{3}(\frac{2}{\sqrt{3}})^{n}\) 4-a) Montrer que pour tout entier naturel n: \(|z_{n+1}|^{2}=|z_{n}|^{2}+d_{n}^{2}\). b) En déduire que pour tout entier naturel n: le triangle \(OA_{n}A_{n+1}\) est rectangle en \(A_{n}\). c) Construire, à la règle non graduée et au compas, le point \(A_{5}\) sur la figure de l’annexe. d) Justifier cette construction.
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Examen National Math Bac 2 Science Mathématiques Bac Blan 2021:
le bareme des points pour chaque question svp