Examen National Maths 2 Bac Economie Générale et Statistiques 2020 Rattrapage
Exercice 1:(6 Pts)
Soit \((u_{n})_{n≥1}\) la suite numérique définie par: \(u_{0}=5\) et \(u_{n+1}=\frac{4 u_{n}-9}{u_{n}-2}\) pour tout \(n\) de IN 1. Calculer \(u_{1}\) et \(u_{2}\) 2.a. Montrer par récurrence que pour tout \(n\) de IN : \(u_{n}>3\) 2.b. Montrer que: pour tout \(n\) de IN \(u_{n+1}-u_{n}=-\frac{(u_{n}-3)^{2}}{u_{n}-2}\) 2.c. En déduire que: \((u_{n})_{n≥1}\) est une suite décroissante. 3. Montre que: la suite \((u_{n})_{n≥1}\) est convergente. 4.On pose pour tout \(n\) de IN : \(v_{n}=\frac{1}{u_{n}-3}\) 4.a. Calculer \(v_{0}\) 4.b. Calculer \(v_{n+1}-v_{n}\) et en déduire que la suite \((v_{n})_{n≥1}\) est arithmétique de raison 1 4.c. Montre que: \(v_{n}=\frac{1}{2}+n\); pour tout \(n\) de IN 5.a. Vérifier que: pour tout n de IN: \(u_{n}=\frac{3 v_{n}+1}{v_{n}}\) 5.b. En déduire que: pour tout n de IN: \(u_{n}=\frac{6 n+5}{2 n+1}\) 5.c. Calculer \(\lim_{n ➝+∞}u_{n}\)
Exercice 2:(10 Pts) Partie A
On considère la fonction numérique \(g\) définie sur ]0;+∞[ par: \(g(x)=x^{2}+2-2 \ln x\) 1. Montrer que \(g^{\prime}(x)=2(\frac{x^{2}-1}{x})\) pour tout \(x\) de ] 0 ;+∞[ 2. Etudier le signe de \(g^{\prime}(x)\) sur ] 0 ;+∞[ 3. Calculer \(g(1)\) et dresser le tableau de variations de \(g\) (Le calcul des limites n’est pas demandé) 4. Déduire du tableau de variations que \(g(x)>0\) pour tout \(x\) de ] 0 ;+∞[
Partie B
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur ]0 ;+∞[ : \(f(x)=\frac{x}{2}+1+\frac{\ln x}{x}\) et soit \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O ; \vec{i} ; \vec{j})\) 1. Montrer que \(\lim _{x ➝ 0 \atop x>0} f(x)=-∞\) et donner une interprétation géométrique du résultat. 2.a. Calculer \(\lim _{x ➝+∞} f(x)\) 2.b. Calculer \(\lim _{x ➝+∞}(f(x)-(\frac{x}{2}+1))\) puis donner une interprétation géométrique du résultat. 3.a. Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\) de ] 0 ;+∞[ 3.b. Vérifier que: \(f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{2 x^{2}}\) pour tout \(x\) de ] 0 ;+∞[ 3.c. En déduire que: \(f\) est croissante sur ]0 ;+∞[
4.Soit \((D)\) la droite d’équation \(y=\frac{x}{2}+1\) 4.a. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la droite \((D)\) et de la courbe \((C)\) 4.b. Etudier le signe de \((f(x)-(\frac{x}{2}+1))\) sur \(] 0 ;+∞[\) et en déduire la position relative de \((C)\) par rapport à \((D)\) 5. Calculer \(f(1)\) et \(f^{\prime}(1)\) et donner l’équation de la tangente à \((C)\) au point d’abscisse \(x_{0}=1\) 6. Dans la figure ci-dessous \((C)\) est la courbe représentative de \(f\) et \((D)\) la droite d’équation \(y=\frac{x}{2}+1\) dans le repère orthonormé \((O ; \vec{i} ; \vec{j})\)
Soit \(a\) l’abscisse du point d’intersection de \((C)\) avec l’axe des abscisses \((O ; \vec{i})\) Donner à partir de la courbe \((C)\) le signe de \(f(x)\) sur ]0 ;+∞[
Exercice 3:
On considère la fonction numérique \(h\) définie sur IR par: \(h(x)=\left(x^{2}+1\right) e^{x}-1\) 1. Montrer que \(h^{\prime}(x)=(x+1)^{2} e^{x}\) pour tout \(x\) de IR 2. Donner le signe de \(h^{\prime}(x)\) sur IR 3. Calculer \(h(0)\) puis dresser le tableau de variations de \(h\) (Le calcul des limites n’est pas demandé) 4. Etudier à partir du tableau de variations le signe de \(h(x)\) sur IR
Exercice 4:
Déterminer une primitive de chacune des fonctions \(f_{1}, f_{2}, f_{3}\) et \(f_{4}\) telles que: 1. \(f_{1}(x)=\frac{2 x}{x^{2}+1}\) définie sur IR 2. \(f_{2}(x)=3 x^{2}(x^{3}+1)^{2}\) définie sur IR \(f_{3}(x)=2 x-\frac{2}{x^{3}}\) définie sur ]0;+∞[ 4. \(f_{4}(x)=\frac{1+\ln x}{x}\) définie sur ]0;+∞
Corrigé Examen National Maths 2 Bac Eco 2020 Rattrapage
Correction svp
Corrigé Examen National Maths 2 Bac Eco-SGC 2020 Rattrapage en pdf voir article en bas
y’a meme pas les résultats ni les méthodes, on a rien à faire avec les notes