Exercice 1: (6 Pts)

Soit \((u_{n})_{n≥1}\) la suite numérique définie par:
\(u_{0}=5\) et \(u_{n+1}=\frac{4 u_{n}-9}{u_{n}-2}\) pour tout \(n\) de IN
1. Calculer \(u_{1}\) et \(u_{2}\)
2.a. Montrer par récurrence que pour tout \(n\) de IN : \(u_{n}>3\)
2.b. Montrer que:
pour tout \(n\) de IN \(u_{n+1}-u_{n}=-\frac{(u_{n}-3)^{2}}{u_{n}-2}\)
2.c. En déduire que:
\((u_{n})_{n≥1}\) est une suite décroissante.
3. Montre que:
la suite \((u_{n})_{n≥1}\) est convergente.
4.On pose pour tout \(n\) de IN : \(v_{n}=\frac{1}{u_{n}-3}\)
4.a. Calculer \(v_{0}\)
4.b. Calculer \(v_{n+1}-v_{n}\)
et en déduire que la suite \((v_{n})_{n≥1}\) est arithmétique de raison 1
4.c. Montre que:
\(v_{n}=\frac{1}{2}+n\); pour tout \(n\) de IN
5.a. Vérifier que:
pour tout n de IN: \(u_{n}=\frac{3 v_{n}+1}{v_{n}}\)
5.b. En déduire que:
pour tout n de IN: \(u_{n}=\frac{6 n+5}{2 n+1}\)
5.c. Calculer \(\lim_{n ➝+∞}u_{n}\)

Exercice 2: (10 Pts)
Partie A

On considère la fonction numérique \(g\) définie sur ]0;+∞[ par:
\(g(x)=x^{2}+2-2 \ln x\)
1. Montrer que \(g^{\prime}(x)=2(\frac{x^{2}-1}{x})\) pour tout \(x\) de ] 0 ;+∞[
2. Etudier le signe de \(g^{\prime}(x)\) sur ] 0 ;+∞[
3. Calculer \(g(1)\) et dresser le tableau de variations de \(g\) (Le calcul des limites n’est pas demandé)
4. Déduire du tableau de variations que \(g(x)>0\) pour tout \(x\) de ] 0 ;+∞[

Partie B

On considère la fonction numérique \(f\) définie sur ]0 ;+∞[ :
\(f(x)=\frac{x}{2}+1+\frac{\ln x}{x}\)
et soit \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O ; \vec{i} ; \vec{j})\)
1. Montrer que \(\lim _{x ➝ 0 \atop x>0} f(x)=-∞\)
et donner une interprétation géométrique du résultat.
2.a. Calculer \(\lim _{x ➝+∞} f(x)\)
2.b. Calculer \(\lim _{x ➝+∞}(f(x)-(\frac{x}{2}+1))\)
puis donner une interprétation géométrique du résultat.
3.a. Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\) de ] 0 ;+∞[
3.b. Vérifier que:
\(f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{2 x^{2}}\) pour tout \(x\) de ] 0 ;+∞[
3.c. En déduire que:
\(f\) est croissante sur ]0 ;+∞[

4.Soit \((D)\) la droite d’équation \(y=\frac{x}{2}+1\)
4.a. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la droite \((D)\) et de la courbe \((C)\)
4.b. Etudier le signe de \((f(x)-(\frac{x}{2}+1))\) sur \(] 0 ;+∞[\)
et en déduire la position relative de \((C)\) par rapport à \((D)\)
5. Calculer \(f(1)\) et \(f^{\prime}(1)\)
et donner l’équation de la tangente à \((C)\) au point d’abscisse \(x_{0}=1\)
6. Dans la figure ci-dessous \((C)\) est la courbe représentative de \(f\)
et \((D)\) la droite d’équation \(y=\frac{x}{2}+1\)
dans le repère orthonormé \((O ; \vec{i} ; \vec{j})\)

Soit \(a\) l’abscisse du point d’intersection de \((C)\)
avec l’axe des abscisses \((O ; \vec{i})\)
Donner à partir de la courbe \((C)\) le signe de \(f(x)\) sur ]0 ;+∞[

Exercice 3:

On considère la fonction numérique \(h\) définie sur IR par:
\(h(x)=\left(x^{2}+1\right) e^{x}-1\)
1. Montrer que \(h^{\prime}(x)=(x+1)^{2} e^{x}\) pour tout \(x\) de IR
2. Donner le signe de \(h^{\prime}(x)\) sur IR
3. Calculer \(h(0)\)
puis dresser le tableau de variations de \(h\)
(Le calcul des limites n’est pas demandé)
4. Etudier à partir du tableau de variations le signe de \(h(x)\) sur IR

Exercice 4:

Déterminer une primitive de chacune des fonctions \(f_{1}, f_{2}, f_{3}\) et \(f_{4}\)
telles que:
1. \(f_{1}(x)=\frac{2 x}{x^{2}+1}\) définie sur IR
2. \(f_{2}(x)=3 x^{2}(x^{3}+1)^{2}\) définie sur IR
\(f_{3}(x)=2 x-\frac{2}{x^{3}}\) définie sur ]0;+∞[
4. \(f_{4}(x)=\frac{1+\ln x}{x}\) définie sur ]0;+∞