Exercice 1: (4.5 Pts)

Soit \((u_{n})_{n∈IN}\) la suite numérique définie par:
\(u_{0}=1\)
\(u_{n+1}=\frac{u_{n}-9}{u_{n}-5}\) pour tout \(n\) de IN
1. Calculer \(u_{1}\) et \(u_{2}\)
2. Montrer par récurrence que pour tout \(n\) de IN:
\( u_{n}<3\)
3.a. Vérifier que pour tout \(n\) de IN: 
\(u_{n+1}-u_{n}=\frac{(u_{n}-3)^{2}}{5-u_{n}}\)
3.b. Montrer que:
 \((u_{n})_{n∈IN}\) est une suite croissante.
4. En déduire que la suite \((u_{n})_{n∈IN}\) est convergente.
5. On pose pour tout \(n\) de IN :
\(v_{n}=\frac{-2 u_{n}+4}{u_{n}-3}\)
5.a. Vérifier que \(v_{0}=-1\)
5.b. Montrer que:
 \(v_{n+1}=\frac{-u_{n}+1}{u_{n}-3}\)
5.c. En déduire que:
 \((v_{n})\) est une suite arithmétique de raison 1
6.a. Montrer que pour tout \(n\) de IN:
 \(u_{n}=\frac{3 v_{n}+4}{v_{n}+2}\)
6.b. En déduire que pour tout \(n\) de IN:
\(u_{n}=\frac{3 n+1}{n+1}\)6.c. Calculer \(\lim _{n➝+∞} u_{n}\)

Exercice 2: (4 Pts)

Les résultats seront donnés sous forme de fraction)
Un sac \(S_{1}\) contient:
deux boules blanches, une boule rouge et trois boules vertes.
Un autre sac \(S_{2}\) contient:
une boule blanche, deux boules rouges et une boule verte.
Toutes les boules sont indiscernables au toucher.
On considère l’expérience suivante :
« on tire une boule du sac \(S_{1}\) puis on tire une boule du sac \(S_{2}\) »On considère les événements suivants :
A: « Les deux boules tirées sont blanches»
B: « Les deux boules tirées sont de couleurs différentes»
1. Montrer que \(p(A)=\frac{1}{12}\)
2. Montrer que:
\(p(\bar{B})=\frac{7}{24}\)
( \(\bar{B}\) est l’événement contraire de \(B\) )
et en déduire \(p(B)\)
3. Calculer \(p(A \cup B)\)

Exercice 3: (11.5 Pts)

On considère la fonction numérique \(f\) de la variable réelle \(x\)
définie sur \(]0;+∞[\) par :
\(f(x)=(1-ln x) ln x\)
et soit \((C_{f})\) sa courbe représentative
dans un repère orthonormé \((O ; \vec{i} ; \vec{j})\)
1. Calculer \(\lim _{x➝ 0} f(x)\)
et interpréter géométriquement le résultat.
2.a. Calculer \(\lim _{x➝+∞} f(x)\)
2.b. On admet que \(\lim _{x➝+∞} \frac{(\ln x)^{2}}{x}=0\)
Calculer \(\lim _{x➝+∞} \frac{f(x)}{x}\)
et interpréter géométriquement le résultat.
3.a. Montrer que, pour tout \(x\) de \(]0;+∞[\):\(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}(1-2 \ln x).\)
3.b. Montrer que:
 \(f\) est croissante sur \(]0;\sqrt{e}]\)et qu’elle est décroissante sur \([\sqrt{e};+∞[\)3.c. Calculer \(f(\sqrt{e})\)
puis dresser le tableau de variations de \(f\)

3.d. Résoudre l’équation \(f(x)=0\)
et en déduire les coordonnées des points d’intersection de \((C_{f})\)
avec l’axe des abscisses.
3.e. Donner l’équation de la tangente \((T)\) à la courbe \((C_{f})\)
au point d’abscisse \(x_{0}=1\)
4.a. Montrer que pour tout \(x\) de \(]0;+∞[\):\(f^{\prime \prime}(x)=\frac{1}{x^{2}}(2 \ln x-3)\) 
4.b. Montrer que:
\(A(e^{\frac{3}{2}} ; \frac{-3}{4})\) est un point d’inflexion de \((C_{f})\)
5. Dans la figure ci-dessous Figue 1.
\((C_{f})\) est la courbe représentative de \(f\)et soit \(F\) la fonction définie par :
\(F(x)=-x(\ln x)^{2}+3 x \ln x-3 x\)
5.a. Montrer que:
\(F\) est une primitive de \(f\) sur \(]0;+∞[\) 5.b. A partir de la courbe \((C_{f})\) Figue 1,
donner les variations de \(F\) sur \(]0;+∞[\) 5.c. Calculer l’aire de la partie hachurée.