Examen National Maths 2 Bac Economie Générale et Statistiques 2019 Rattrapage
Exercice 1: (4.5 Pts)
Soit \((u_{n})_{n∈IN}\) la suite numérique définie par: \(u_{0}=1\) \(u_{n+1}=\frac{u_{n}-9}{u_{n}-5}\) pour tout \(n\) de IN 1. Calculer \(u_{1}\) et \(u_{2}\) 2. Montrer par récurrence que pour tout \(n\) de IN: \( u_{n}<3\) 3.a. Vérifier que pour tout \(n\) de IN: \(u_{n+1}-u_{n}=\frac{(u_{n}-3)^{2}}{5-u_{n}}\) 3.b. Montrer que: \((u_{n})_{n∈IN}\) est une suite croissante. 4. En déduire que la suite \((u_{n})_{n∈IN}\) est convergente. 5. On pose pour tout \(n\) de IN : \(v_{n}=\frac{-2 u_{n}+4}{u_{n}-3}\) 5.a. Vérifier que \(v_{0}=-1\) 5.b. Montrer que: \(v_{n+1}=\frac{-u_{n}+1}{u_{n}-3}\) 5.c. En déduire que: \((v_{n})\) est une suite arithmétique de raison 1 6.a. Montrer que pour tout \(n\) de IN: \(u_{n}=\frac{3 v_{n}+4}{v_{n}+2}\) 6.b. En déduire que pour tout \(n\) de IN: \(u_{n}=\frac{3 n+1}{n+1}\)6.c. Calculer \(\lim _{n➝+∞} u_{n}\)
Exercice 2: (4 Pts)
Les résultats seront donnés sous forme de fraction) Un sac \(S_{1}\) contient: deux boules blanches, une boule rouge et trois boules vertes. Un autre sac \(S_{2}\) contient: une boule blanche, deux boules rouges et une boule verte. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On considère l’expérience suivante : « on tire une boule du sac \(S_{1}\) puis on tire une boule du sac \(S_{2}\) »On considère les événements suivants : A: « Les deux boules tirées sont blanches» B: « Les deux boules tirées sont de couleurs différentes» 1. Montrer que \(p(A)=\frac{1}{12}\) 2. Montrer que: \(p(\bar{B})=\frac{7}{24}\) ( \(\bar{B}\) est l’événement contraire de \(B\) ) et en déduire \(p(B)\) 3. Calculer \(p(A \cup B)\)
Exercice 3:(11.5 Pts)
On considère la fonction numérique \(f\) de la variable réelle \(x\) définie sur \(]0;+∞[\) par : \(f(x)=(1-ln x) ln x\) et soit \((C_{f})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O ; \vec{i} ; \vec{j})\) 1. Calculer \(\lim _{x➝ 0} f(x)\) et interpréter géométriquement le résultat. 2.a. Calculer \(\lim _{x➝+∞} f(x)\) 2.b. On admet que \(\lim _{x➝+∞} \frac{(\ln x)^{2}}{x}=0\) Calculer \(\lim _{x➝+∞} \frac{f(x)}{x}\) et interpréter géométriquement le résultat. 3.a. Montrer que, pour tout \(x\) de \(]0;+∞[\):\(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}(1-2 \ln x).\) 3.b. Montrer que: \(f\) est croissante sur \(]0;\sqrt{e}]\)et qu’elle est décroissante sur \([\sqrt{e};+∞[\)3.c. Calculer \(f(\sqrt{e})\) puis dresser le tableau de variations de \(f\)
3.d. Résoudre l’équation \(f(x)=0\) et en déduire les coordonnées des points d’intersection de \((C_{f})\) avec l’axe des abscisses. 3.e. Donner l’équation de la tangente \((T)\) à la courbe \((C_{f})\) au point d’abscisse \(x_{0}=1\) 4.a. Montrer que pour tout \(x\) de \(]0;+∞[\):\(f^{\prime \prime}(x)=\frac{1}{x^{2}}(2 \ln x-3)\) 4.b. Montrer que: \(A(e^{\frac{3}{2}} ; \frac{-3}{4})\) est un point d’inflexion de \((C_{f})\) 5. Dans la figure ci-dessous Figue 1. \((C_{f})\) est la courbe représentative de \(f\)et soit \(F\) la fonction définie par : \(F(x)=-x(\ln x)^{2}+3 x \ln x-3 x\) 5.a. Montrer que: \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(]0;+∞[\) 5.b. A partir de la courbe \((C_{f})\) Figue 1, donner les variations de \(F\) sur \(]0;+∞[\) 5.c. Calculer l’aire de la partie hachurée.