Examen National Math Bac 2 Science Math 2013 Normale

Exercice 1: (3.5 Pts)

Thème : Arithmétiques

On rappelle que \((Z,+,×)\) est un anneau commutatif, unitaire et intègre.
1- On munit \(Z\) de la loi de composition interne \(*\) définie par:
\(\forall(x, y) \in Z^{2}) ; x * y=x+y-2\)
a) Montrer que la loi \(*\) est commutative et associative.
b) Montrer que \((Z, *)\) admet un élément neutre que l’on déterminera.
c) En déduire que \((Z, *)\) est un groupe commutatif.

2- On munit \(Z\) de la loi de composition interne T définie par:
\(\forall(x, y) \in Z^{2}) ; xTy=x y-2 x-2 y+6\)
et on considère l’application \(f\) de \(Z\) dans \(Z\)
définie par: \(\forall x \in Z ; f(x)=x+2\)
a) Montrer que:
l’application \(f\) est un isomorphisme de \((Z,×)\) dans \((Z, T)\)
b) Montrer que:
\((\forall(x, y, z) \in Z^{3}) ;(x * y) T z=(x T z) *(y T z)\)
3- En déduire de tout ce qui précède que:
\((Z, *, T)\) est un anneau commutatif et unitaire.
4-a) Montrer que:
\(x T y=2\) si est seulement si \((x=2\) ou \(y=2)\)
b) En déduire que: l’anneau \((Z, *, T)\) est intègre.
c) \((Z, *, T)\) est-il un corps ? (justifier votre réponse)

Exercice 2: (3.5 Pts)

Thème : Nombres complexes

I-
Soit \(a\) un nombre complexe non nul.
Soit dans l’ensemble \(ℂ\) l’équation d’inconnue  \(z\) (E):
 \( 2 z^{2}-(3+i \sqrt{3}) a z+(1+i \sqrt{3}) a^{2}=0\)
1-Vérifier que le discriminant de l’équation \((E)\) est: \((-1+i \sqrt{3})^{2} a^{2}\)
2-Résoudre dans \(ℂ\) l’équation \((E)\)

II-
Le plan complexe étant muni d’un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\)
On considère les points \(A, B\) et \(M\) d’affixes respectifs \(a, b=a e^{i \frac{\pi}{3}}\) et \(z\)
Soit \(r\) la rotation de centre \(M\) et d’angle \(\frac{\pi}{3}\)
On pose \(A_{1}=r^{-1}(A)\) et \(B_{1}=r(B)\)
(r^{-1}\) désigne la rotation réciproque de \(r\)
et soient \(a_{1}\) et \(b_{1}\) les affixes respectifs de \(A_{1}\) et \(B_{1}\)
1-Vérifier que le triangle \(OAB\) est équilatéral.
2- a) Montrer que :
\(a_{1}=\left(\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) a+\left(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) z\)
et \(b_{1}=\left(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) a+\left(\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) z\)
b) Montrer que: le quadrilatère \(OA_{1}M B_{1}\) est un parallélogramme.
3- On suppose que: \(M \neq A\) et \(M \neq B\)
a) Montrer que:
\(\frac{z-b_{1}}{z-a_{1}}=-\frac{z-b}{z-a} \times \frac{a}{b}\)
b) Montrer que:
\(M, A_{1}\) et \(B_{1}\) sont alignés si et seulement si et \(B\) sont cocycliques.

Exercice 3: (3 Pts)

Thème : Arithmétiques

L’objectif de l’exercice est de chercher les entiers naturels \(n\) strictement supérieurs à 1
et qui vérifient la propriété suivante : \((R): 3^{n}-2^{n} \equiv 0[n]\)
1-On suppose que \(n\) vérifie la propriété \((R)\)
et soit \(p \underline{\text { le plus petit diviseur premier positif de }} n\).
a) Montrer que : \(3^{n}-2^{n} \equiv 0[p]\), en déduire que \(p \geq 5\)
b) Montrer que: \(2^{p-1} \equiv 1[p]\) et \(3^{p-1} \equiv 1[p]\)
c) Montrer qu’il existe un couple \((a, b)\) de \(Z^{2}\) tel que : \(a n-b(p-1)=1\)
d) Soient \(r\) et \(q\) le reste et le quotient de la division euclidienne de \(a\) par \(p-1\)
\((a=q(p-1)+r \text { avec } \quad 0 \leq r<p-1 \text { et } q \in Z)\)
Montrer qu’il existe un entier naturel \(k\) tel que : \(r n=1+k(p-1)\)
2- En déduire de tout ce qui précède:
 qu’il n’existe pas d’entier naturel \(n\) strictement supérieur à 1 vérifiant \((R)\)

Exercice 4: (10 Pts)

Thème: Analyse

On considère la fonction numérique \(h\) définie sur l’intervalle [1,+∞[ par :
\(h(1)=1 \text { et }(∀x>1) ; h(x)=\frac{x-1}{x \ln x}\)

Partie I

1-a) Montrer que la fonction \(h\) est continue à droite en 1
b) Montrer que\((∀x>1:  \ln x<x-1\),
en déduire que la fonction \(h\) est strictement décroissante sur l’intervalle ]1,+∞[
2-a) Calculer \(\lim _{x ➝+∞} h(x)\) puis donner le tableau de variations de \(h\)
b) En déduire que  \((∀x \geq 1) : 0<h(x)≤ 1\)

Partie II

On considère la fonction numérique \(g\) définie sur l’intervalle \([1,+∞[\) par :
\(g(1)=\ln 2 \text { et }(∀x>1) ; g(x)=\int_{x}^{x^{2}} \frac{1}{\sqrt{t} \ln t} d t\)
Soit \((C)\) la courbe représentative de la fonction \(g\)
dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\)
1-a) Vérifier que ∀x>1: 
\(\int_{x}^{x^{2}} \frac{1}{t \ln t} d t=\ln 2\)
b) Vérifier que ∀x>1: 
\(g(x)-\ln 2=\int_{x}^{x^{2}} \frac{\sqrt{t}-1}{t \ln t} d t\)
c) Montrer que ∀x>1: 
\(g(x)-\ln 2=\int_{\sqrt{x}}^{x} \frac{t-1}{t \ln t} d t\)
2-a)Montrer que ∀x>1:
\((x-\sqrt{x}) h(x)≤ g(x)-\ln 2≤ (x-\sqrt{x}) h(\sqrt{x})\)
b) En déduire que:
 la fonction \(g\) est dérivable à droite au point 1
c) Montrer que:
\(\lim _{x ➝+∞} g(x)=+∞\)
et que : \(\lim _{x ➝+∞} \frac{g(x)}{x}=0\)
3-a) Montrer que:
 \(g\) est dérivable sur l’intervalle ] 1,+∞[
et que ∀x>1:
 \(g^{\prime}(x)=\frac{1}{2} h(\sqrt{x})\)
b) En déduire que ∀x ≥ 1 : 
  \(0<g^{\prime}(x)≤ \frac{1}{2}\),
puis donner le tableau de variations de \(g\)
c) Construire la courbe \((C)\)

Partie III

I-1-Montrer que la fonction \(k: x ➝ g(x)-x+1\) est une bijection
de l’intervalle [1,+∞[ dans l’intervalle ]-∞, ln 2]
2- En déduire qu’il existe un unique réel \(α\)
de l’intervalle ] 1,+∞[ qui vérifie \(1+g(α)=α\)
II- On considère la suite numérique \((u_{n})_{n \geq 0}\) définie par:
\(1≤ u_{0}<α\) et \((∀n  ≥ 0) ; u_{n+1}=1+g(u_{n})\)
1- a) Montrer que:
 \((∀n ≥ 0) \quad ; \quad 1≤ u_{n}<α\)
b) Montrer que la suite \((u_{n})_{n  ≥ 0}\) est strictement croissante.
c) En déduire que:
 la suite \((u_{n})_{n  ≥ 0}\) est convergente
et que \(\lim _{n ➝+∞} u_{n}=α\)
2-a Montrer que :
 \((∀n ≥ 0) ;|u_{n+1}-α|≤ \frac{1}{2}|u_{n}-α|\)
b) Montrer que :
\((∀n  ≥ 0) ;|u_{n}-α|≤ (\frac{1}{2})^{n}|u_{0}-α|\)
c) En déduire une deuxième fois, que : \(\lim _{n ➝+∞} u_{n}=α\).

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