Examen National Mathématiques Sciences Maths 2016 Rattrapage

Exercice 1: (3 pts)

On a deux boites \(U\) et \(V\).
La boite \(U\) contient 4 boules rouges et 4 boules bleues.
La boite \(V\) contient deux boules rouges 4 boules bleues.
On considère l’épreuve suivante :
On tire au hasard une boule de la boite \(U\):
Si elle est rouge, on la remet dans la boite \(V\) puis on tire au hasard une boule de la boite \(V\);
si elle est bleue on la pose de coté puis on tire une boule de la boite \(V\).
Soient les événements suivants:
\(R_{U}\) « La boule tirée de la boite \(U\) est rouge »
\(B_{U}\) « La boule tirée de la boite \(U\) est bleue »
\(R_{V}\) « La boule tirée de la boite \(V\) est rouge »
\(B_{V}\) « La boule tirée de la boite \(V\) est bleue »
1- Calculer la probabilité de chacun des deux événements \(R_{U}\) et \(B_{U}\).

2- a) Calculer la probabilité de l’événement \(B_{V}\) sachant que l’événement \(R_{U}\) est réalisé.
b) Calculer la probabilité de l’événement \(B_{V}\) sachant que l’événement \(B_{U}\) est réalisé.
3- Montrer que:
la probabilité de l’événement \(B_{V}\) est: \(\frac{13}{21}\)
4- En déduire la probabilité de l’événement \(R_{V}\).

Exercice 2: (3 pts)

On rappelle que \((M_{3}(\mathbb{R}),+, ×)\) est un anneau unitaire d’unité:
\(I=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\)
et que \((\mathbb{C},+,×)\) est un corps commutatif.
Pour chaque nombre complexe \(z=x+iy\) où \((x, y) \in \mathbb{R}^{2},\)
on pose :
\(M(z)=\left(\begin{array}{ccc}x+2 y & 0 & 5 y \\ 0 & 1 & 0 \\ -y & 0 & x-2 y\end{array}\right)\)
et on considère l’ensemble \(E=\{M(z) / z \in \mathbb{C}\}\)

1- On munit \(E\) de la loi de composition interne \(^{*}\) définie par :
\((\forall z \in \mathbb{C}) \quad\left(\forall z^{\prime} \in \mathbb{C}\right): M(z)^{*} M\left(z^{\prime}\right)=M(z)+M\left(z^{\prime}\right)-M(0)\)
Montrer que:
\(\left(E,^{*}\right)\) est un groupe commutatif.
2- On considère l’application:
\(\varphi: \mathbb{C}^{*} \rightarrow E\)
qui associe au nombre complexe \(z\) de \(\mathbb{C}^{*}\) la matrice \(M(z)\) de \(E\)
a) Montrer que:
\(\varphi\) est un homomorphisme de \(\left(\mathbb{C}^{*}, \mathrm{x}\right)\) dans \((E, *)\)
b) En déduire que:
\((E-\{M(0)\}, ×)\) est un groupe commutatif.
3- Montrer que \((E,^{*},^{\prime})\) est un corps commutatif.

Exercice 3: (3.5 pts)

On considère dans l’ensemble \(\mathbb{Z}\) l’équation:(E):
\(z^{2}-(1+\sqrt{3})(1+i) z+4 i=0\)
1-a) Vérifier que:
le discriminant de l’équation \((E)\) est \(\mathrm{D}=((\sqrt{3}-1)(1-i))^{2}\)
b) Ecrire sous forme trigonométrique les deux solutions de \((E)\)
2- Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O, u, v)\).
On considère les deux points \(A\) et \(B\)
d’affixes respectives \(a=1+i \sqrt{3}\) et \(b=\sqrt{3}+i\)
a) Montrer que:
l’ensemble \((D)\) des points du plan complexe dont l’affixe \(z\) vérifie:
\(z=\frac{1}{2} a \bar{z}\) est une droite qui passe par le point \(B\)
b)Soient \(M\) et \(M\) ‘deux points d’affixes respectives \(z\) et \(z’\)
tels que: \(z’=a \bar{z}-b\) et \(z≠b\)
Montrer que:
\(\frac{b^{2}}{\left(z’-b\right)(z-b)}=\frac{2}{|z-b|^{2}}\)
c) En déduire que:
la droite \((D)\) est une bissectrice de l’angle \((\vec{BM},\vec{BM’})\)

Exercice 4: (6.5 pts)

\(n\) est un entier naturel non nul.
Soit \(f_{n}\) la fonction numérique définie sur l’intervalle ]0,+∞[par:
\(f_{n}(x)=\ln (x)-\frac{n}{x}\)
et soit \((C_{n})\) la courbe représentative de la fonction \(f_{n}\)
dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
1-a) Etudier les deux branches infinies de la courbe \((C_{n})\).
b) Etudier les variations de la fonction \(f_{n}\) sur ]0,+∞[
puis donner son tableau de variation.
c) Construire \((C_{n})\).
2- Montrer que:
la fonction \(f_{n}\) est une bijection de ] 0,+∞[ dans IR.

3-a) Montrer que:
pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 1
il existe un unique nombre réel \(\alpha_{n}\) de l’intervalle ]0,+∞[
tel que: \(f_{n}\left(\alpha_{n}\right)=0\)
b) Comparer \(f_{n}(x)\) et \(f_{n+1}(x)\) pour tout \(x\) de ]0,+∞[
c) Montrer que:
la suite \((\alpha_{n})_{n \geq 1}\) est strictement croissante.
4-a) Montrer que \(∀ x>0: ln (x)<x\).
b) Montrer que:
\(\lim _{n➝+∞} \alpha_{n}=+∞\)
5- Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 1
on pose:
\(I_{n}=\frac{1}{\alpha_{n+1}-\alpha_{n}} \int_{\alpha_{n}}^{\alpha_{n+1}} f_{n}(x) dx\)
a) Montrer que:
(∀n∈IN*) \((∃ c_{n}∈[\alpha_{n},\alpha_{n+1}])\): \(\quad I_{n}=f_{n}(c_{n})\)
b) Montrer que ∀n∈IN*: \(\quad 0≤I_{n}≤\frac{1}{\alpha_{n+1}}\)
c) Déterminer \(\lim _{n➝+∞} I_{n}\)

Exercice 5: (3.5 pts)

\(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère la fonction numérique \(g_{n}\) à variable réelle \(x\)
définie sur l’intervalle [n,+∞[ par :
\(g_{n}(x)=\int_{n}^{x} \frac{1}{ln t} dt\)
1-a) Montrer que:
la fonction \(g_{n}\) est dérivable sur l’intervalle [n,+∞[
puis déterminer sa fonction dérivée première \(g_{n}’\)
b) Montrer que:
la fonction \(g_{n}\) est strictement croissante sur l’intervalle [n,+∞[
2-a) Montrer que (∀ x ≥ n):
\(g_{n}(x) ≥ ln(\frac{x-1}{n-1})\)
( On pourra utiliser l’inégalité: \((∀ t ≥ 0) ; ln (1+t) ≤ t)\)
b) En déduire que : \(\lim _{x➝+∞} g_{n}(x)=+∞\)

3-a) Montrer que:
\(g_{n}\) est une bijection de l’intervalle \([n,+∞[\) dans l’intervalle \([0,+∞[\).
b) En déduire que:
\((∀ n ≥ 2) (∃! u_{n} ≥ n)\):
\(\int_{n}^{u_{n}} \frac{1}{\ln t} dt=1\)
4- On considère la suite numérique \((u_{n})_{n ≥ 2}\)
définie dans la question (3-b).
a) Montrer que (∀ n ≥ 2):
 \(\int_{u_{n}}^{u_{n+1}} \frac{1}{ln t} dt=\int_{n}^{n+1} \frac{1}{ln t} dt\)
b) En déduire que:
la suite \((u_{n})_{n ≥ 2}\) est strictement croissante.
c) Déterminer \(\lim_{n➝+∞} u_{n}\).

Correction Examen National Math 2 Bac Science Math 2016 Rattrapage

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