Exercice 1: (3pts)

Thème : Arithmétiques

Pour tout \(n\) de IN* on pose :
\(\quad a_{n}=\underbrace{333 \ldots \ldots 3}_{n \text { fois }} 1 \quad\) n fois le chiffre 3)
1-Vérifier que les deux nombres \(a_{1}\) et \(a_{2}\) sont premiers.
2- Montrer que pour tout \(n\) de IN*:
\(3 a_{n}+7=10^{n+1}\)
3 -Montrer que pour tout \(k\) de IN:
\(10^{30 k+2} \equiv 7 [31] \)
4 -Montrer que pour tout \(k\) de IN:
\(3 a_{30 k+1}\equiv 0[31],\)
puis en déduire que : 31 divise \(a_{30 k+1}\)
5- Montrer que pour tout \(n\) de IN*:
si \(n \equiv1 [30]\) alors l’équation \(a_{n} x+31 y=1\) n’admet
pas de solutions dans \(Z^{2}\)

Exercice 2: (3.5 pts)

Thème: Structures algébriques

On rappelle que \((\mathbb{C},+, \times)\) est un corps commutatif et que \(\left(M_{2}(\mathbb{R}),+, \times\right)\) est un anneau unitaire de zéro la matrice \(O=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)\) et d’unité \(I=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\).
Pour tous \(a\) et \(b\) de \(\mathbb{R}\) on pose : \(M(a ; b)=\left(\begin{array}{cc}a & a-b \\ b & a+b\end{array}\right)\) et on considère l’ensemble :
\(E=\left\{M(a ; b) /(a ; b) \in \mathbb{R}^{2}\right\}\)
1. Montrer que \(E\) est sous-groupe du groupe \(\left(M_{2}(\mathbb{R}),+\right)\).
2. Calculer \(J^{2}=J \times J\) où \(J=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)\) puis en déduire que \(E\) est une partie non stable de \(\left(M_{2}(\mathbb{R}), \times\right)\)

3. On définit sur \(M_{2}(\mathbb{R})\) à la loi de composition interne \(*\) par: \(A * B=A \times N \times B\) où \(N=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right)\)
On considère l’application \(\varphi\) de \(\mathbb{C}^{*}\) vers \(M_{2}(\mathbb{R})\) qui associe à chaque nombre complexe non nul \(a+i b(a\) et \(b\) sont deux réels ) la matrice \(M(a ; b)\).
a) Montrer que: \(\varphi\) est un isomorphisme de \(\left(\mathbb{C}^{*}, \times\right)\) vers \(\left(M_{2}(\mathbb{R}), *\right)\)
b) On pose \(E^{*}=E-\{O\}\). Montrer que \(\varphi\left(\mathbb{C}^{*}\right)=E^{*}\).
c) Montrer que \(\left(E^{*}, *\right)\) est groupe commutatif.
4. Montrer que : \(\left(\forall(A, B, C) \in E^{3}\right) ; A *(B+C)=A * B+A * C\)
5. En déduire de ce qui précède que \((E,+, *)\) est un corps commutatif.

Exercice 3: (3.5 pts)

Thème : Nombres complexes

Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{u},\vec{v})\)
1-On considère dans \(C\) l’équation suivante :
(E) \(\quad z^{2}-\sqrt{2} e^{iq} z+e^{2iq}=0\)
a) Vérifier que le discriminant de l’équation \((E)\) est:
\(∆=(\sqrt{2} i e^{iq})^{2}\)
b) Ecrire sous forme trigonométrique les deux racines \(z_{1}\) et \(z_{2}\) de l’équation \((E)\) dans \(C\)

2- On considère les points \(I, J, T_{1}, T_{2}\) et \(A\) d’affixes respectives:
1,-1, \((e^{i(q+\frac{π}{4}})\),\((e^{i(q-\frac{π}{4}})\) et \(\sqrt{2}e^{iq})\)
a) Montrer que:
les deux droites \((O A)\) et \(\left(T_{1} T_{2}\right)\) sont perpendiculaires.
b) Soit \(K\) le milieu du segment \(\left[T_{1} T_{2}\right]\).
Montrer que les points \(O\), \(K\) et \(A\) sont alignés.
c) En déduire que:
la droite \((O A)\) est la médiatrice du segment \(\left[T_{1} T_{2}\right]\).
3- Soit \(r\) la rotation de centre \(T_{1}\) et d’angle \(\frac{π}{2}\)
a) Donner l’expression complexe de la rotation \(r\)
b) Vérifier que l’affixe du point \(B\) image du point \(I\) par la rotation \(r\) est:
\(b=\sqrt{2} e^{i q}+i\)
c) Montrer que les deux droites \((A B)\) et \((IJ)\) sont perpendiculaires.
4-Déterminer l’affixe du point \(C\) image du point \(A\)
par la translation de vecteur \(\vec{v}\)
5-Montrer que \(A\) est le milieu du segment \([BC]\)

Exercice 4: (8 pts)

Thème: Analyse

Partie I:

On considère la fonction \(f\) définie sur [0,+∞[ par:
f(0)=0 et pour tout x>0:
\(f(x)=\frac{-x \ln x}{1+x^{2}}\)
1-a)Montrer que \(f\) est continue sur \([0,+∞[\).
b) Etudier le signe de \(f(x)\) sur \([0,+∞[\)
2-a)Montrer que :
\(\left(∀x \in IR_{+}^{*}\right) \quad f\left(\frac{1}{x}\right)=-f(x)\)
b) Montrer que:
la fonction \(f\) est dérivable sur ]0,+∞[
c) Montrer que:
\((\exists α \in]0,1[ \quad f^{\prime}(α)=0\)
d)En déduire que :
\(f^{\prime}\left(\frac{1}{α}\right)=0\)

Partie II:

On considère la fonction \(F\) définie sur [0,+∞[ par :
\(F(x)=\int_{0}^{x} f(t) dt\)
et soit \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
l-a)Vérifier que ∀ t∈[1,+∞[:
\(\frac{1}{2} \leq \frac{t^{2}}{1+t^{2}} \leq 1.\)
b) Montrer que :
\((∀x∈[1,+∞[) \quad F(1)-\frac{1}{2}(\ln x)^{2} \leq F(x) \leq F(1)-\frac{1}{4}(\ln x)^{2}\)
( On remarquera que:
\(F(x)=\int_{0}^{1} f(t) d t-\int_{1}^{x} \frac{t^{2}}{1+t^{2}} \cdot \frac{\ln t}{t} dt)\)
c)Calculer \(\lim _{x➝+∞} F(x)\) et \(\lim _{x➝+∞} \frac{F(x)}{x}\)
puis donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.
2 -a) Montrer que \(F\) est dérivable sur [0,+∞[
puis calculer \(F^{\prime}(x)\)
b) Etudier les variations de \(F\) sur \([0,+∞[\)

Partie III:

1-a) Montrer que:
\((\forall t∈]0,+∞[) \quad-t \ln t \leq \frac{1}{e}\)
b) En déduire que:
\(∀ t∈[0,+∞[) \quad f(t) \leq \frac{1}{e}\)
c) Montrer que ∀ x∈]0,+∞[: F(x)<x
2-On considère la suite \((u_{n})_{n≥0}\) définie par:
\(u_{0}∈] 0,1[\)
∀ n∈IN:\(\quad u_{n+1}=F(u_{n})\)
a) Montrer que ∀ n∈IN: \(u_{n}∈]0,1[\)
b) Montrer que:
la suite \((u_{n})_{n≥0}\) est strictement décroissante
et en déduire qu’elle est convergente.
c)Déterminer \(\lim _{n➝+∞} u_{n}\)

Exercice 5: (2 pts)

Thème: Calcule Integrale

On considère la fonction g définie sur [0,+∞[ par :
g(0)=0 et pour x>0:
\(g(x)=\frac{1}{x²}e^{-\frac{1}{x}}\)
Montrer que g est continue sur [0,+∞[.
2-Pour tout réel x de l’intervalle [0,+∞[ on pose :
\(L(x)=\int_{0}^{x} g(t) dt\)
a) Montrer que \(L\) est continue sur \([0,+∞[\).
b) Calculer \(L(x)\) pour \(x>0\)
c) Calculer \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} L(x)\) et en déduire la valeur de \(L(0)\)
-Pour tout entier naturel non nul \(n,\) on pose : \(s_{n}=\frac{1}{n} \sum_{p=0}^{p=n-1} g\left(\frac{p}{n}\right)\)
Montrer que la suite \(\left(s_{n}\right)_{n \geq 1}\) est convergente puis déterminer sa limite.

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