Concours ENSA 2019

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Concours d’accès en 1ère année du cycle d'ingénieur ENSA 2019

Durée: 1h 30 mn

Remarques importantes:
– Une seule proposition est correcte par question:
Réponse juste = 1 point;
Réponse frusse =-1 point;
Plus d’une réponse cochée =-1 point;
Pas de réponse =0 point.

Q1:

Soient a, b>0, on considère la suite:
\(\left\{\begin{array}{c} u_{n+1}=\frac{\left(b^{2}+a b-a^{2}\right) u_{n}-a^{2}}{b^{2} u_{n}+b^{2}-a b-a^{2}} \\ u_{0}=\frac{b}{a} \end{array}\right.\)
En remarquant que la suite \(v_{n}=\frac{b}{b u_{n}-a}\) est une suite arithmétique,

\(u_{n}\) est égal à :

\(A: \frac{an+b}{bn+a}\)
\(B: \frac{n+b}{bn+a}\)
\(C: \frac{a n-b}{bn-a}\)
\(D: \frac{an+b}{n+a}\)

Comme ce qu’est vrai en général est vrai en particulier,
alors je vais partir d’un cas particulier pour généraliser ensuite,
pour cela je vais calculer \(u_{1}\)
\(u_{0}=\frac{b}{a}\)
Donc:
\(u_{1}=\frac{\left(b^{2}+ab-a^{2}\right) u_{0}-a^{2}}{b^{2} u_{0}+b^{2}-ab-a^{2}}\)
\(u_{1}=\frac{\frac {b^{3}}{a}+b^{2}-ab-a^{2}}{\frac {b^{3}}{a}+b^{2}-ab-a^{2}}\)
\(u_{1}=1\)
Je vais procéder par élimination des cas.
A:\(u_{n}=\frac{a n+b}{b n+a}=\frac{2 n+3}{3 n+2} \Rightarrow u_{1}=\frac{5}{5}=1,\) on garde pour le moment le A.
B:\(u_{n}=\frac{n+b}{b n+a}=\frac{n+3}{3 n+2} \Rightarrow u_{1}=\frac{4}{5} \neq 1,\) on exclut le B.
C:\(u_{n}=\frac{a n-b}{b n-a}=\frac{2 n-3}{3 n-2} \Rightarrow u_{1}=\frac{-1}{1}=-1 \neq 1,\) on exclut le C
D:\(u_{n}=\frac{a n+b}{n+a}=\frac{2 n+3}{n+2} \Rightarrow u_{1}=\frac{5}{3} \neq 1,\) on exclut le D.
D’où la bonne réponse est : A.

Q2:

Pour \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on considère la suite :
\(u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2 k+n}\)
On a \(u_{n} \in I\) avec:

A: \(I=[0,\frac{1}{3}[\).
B: \(I=[\frac{1}{3},1[\).
C: \(I=[2,3[\).
D: \(I=[1,2[\).

On a:
\(\forall n \in IN^{*}\forall k \in\{1,2, \ldots, n\}\)
\(2+n \leq 2 k+n \leq 2 n+n\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2 n+n} \leq \frac{1}{2 k+n} \leq \frac{1}{2+n}\)
\(\Rightarrow \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3 n} \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2 k+n} \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2+n}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3 n} n \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2 k+n} \leq \frac{1}{2+n} n\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3} \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2 k+n} \leq \frac{n}{2+n} < 1\)
\(\Rightarrow u_{n} \in[\frac{1}{3},1[\).
D’où la bonne réponse est : B.

Q3:

On considère toujours la suite de la question 2 ci-dessus,
Pour \(n \in \mathbb{N}^{*}\) :
\(u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2 k+n}\)

\(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}\) est égale à :

A: \(\sqrt{3}\)
B: \(ln(3)\)
C: \(ln(\sqrt{3})\)

D: 0

On a:\(\,\forall n \in IN^{*}:\)
\(\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2 k+n}\)
\(=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+2 \frac{k}{n}}\)
\(=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+2 x} d x=\left[\frac{1}{2} \ln (1+2 x)\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{1}{2} \ln 3=\ln (\sqrt{3})\)
D’où la bonne réponse est : C.

Q4:

Sachant que:
\(ln \left(x+\sqrt{4+x^{2}}\right)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{4+x^{2}}}.\)

la valeur de l’intégrale \(\int_{0}^{1} \sqrt{4+x^{2}} dx\)
est:

A: \(ln (\frac{3+\sqrt{5}}{2})-\frac{\sqrt{5}}{2}\)
B: \(\ln (\frac{3+\sqrt{5}}{2}-ln(\frac{5}{2})\)
C: \(ln (\frac{3+\sqrt{5}}{2})-\frac{5}{2}\)
D: \(ln (\frac{3+\sqrt{5}}{2})+\frac{\sqrt{5}}{2}\)

On a :
\(I=\int_{0}^{1} \sqrt{4+x^{2}} dx\)
=\(\int_{0}^{1} x^{\prime} \sqrt{4+x^{2}} dx\)
=\(\left[x \sqrt{4+x^{2}}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1} x\left(\sqrt{4+x^{2}}\right)^{\prime} dx\)
=\(\sqrt{5}-\int_{0}^{1} x \frac{2 x}{2 \sqrt{4+x^{2}}} dx\)
=\(\sqrt{5}-\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{4+x^{2}}} dx\)
Et comme
\(\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{4+x^{2}}} dx\)
=\(\int_{0}^{1} \frac{x^{2}+4}{\sqrt{4+x^{2}}}-\int_{0}^{1} \frac{4}{\sqrt{4+x^{2}}} dx\)
=\(I-4\left[\ln \left(x+\sqrt{4+x^{2}}\right)\right]_{0}^{1}\)
=\(I-4 \ln (1+\sqrt{5})+4 \ln 2\)

Alors:
\(I=\sqrt{5}-I+4 \ln (1+\sqrt{5})-4 \ln 2\)
d’ou
\(I=\frac{\sqrt{5}}{2}+2 \ln \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\)
=\(\frac{\sqrt{5}}{2}+\ln \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}\)
=\(\frac{\sqrt{5}}{2}+\ln \left(\frac{6+2 \sqrt{5}}{4}\right)\)
=\(\frac{\sqrt{5}}{2}+\ln \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\).

Et par suite la bonne réponse est : D

Q5:

On considère l’équation trigonométrique suivante:
\((E): \cos ^{4}(3 x)+\sin ^{4}(3 x)=1\)

Les solutions de (E) sont de la forme:

A: \(x=\frac{\pi}{2}+2 k \pi, k \in \mathbb{Z}\)
B: \(x=-\frac{\pi}{6}+2 k \pi, k \in \mathbb{Z}\)
C: \(C: x=\frac{k \pi}{3}, k \in \mathbb{Z}\)
D: \(D: x=\frac{k \pi}{6}, k \in \mathbb{Z}\)

Partons du fait que \(\forall(a, b) \in R^{2}\):
\(a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2 a b\)
on en déduit :
\(\cos ^{4}(3 x)+\sin ^{4}(3 x)\)
=\(\left(\cos ^{2}(3 x)+\sin ^{2}(3 x)\right)^{2}-2 \cos ^{2}(3 x) \cdot \sin ^{2}(3 x)\)
=\(1-\frac{1}{2} \sin ^{2}(6 x),\)
donc
\(\cos ^{4}(3 x)+\sin ^{4}(3 x)=1 \Leftrightarrow \sin (6 x)=0\)
\(\Leftrightarrow 6 x=k \pi / k \in Z\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{k \pi}{6} / k \in Z\)
 
Et par suite la bonne réponse est : D.

Q6:

Soit le réel
\(\lambda=\sqrt[4]{\frac{7+3 \sqrt{5}}{2}}-\sqrt[4]{\frac{7-3 \sqrt{5}}{2}}\)

En Calculant la valeur de \(\lambda\) est:

A: \(\lambda=0\)
B: \(\lambda=1\)
C: \(\lambda=2\)
D: \(\lambda=3\)

Partons du fait que \(\forall(a, b) \in R^{2}\):
\((a-b)^{4}=a^{4}+b^{4}-4 a b\left(a^{2}+b^{2}\right)+6 a^{2} b^{2}\)
on en déduit
 
\(\lambda^{4}=\frac{7+3 \sqrt{5}}{2}+\frac{7-3 \sqrt{5}}{2}\)
\(-4 \sqrt[4]{\left(\frac{7+3 \sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{7-3 \sqrt{5}}{2}\right)}\left(\sqrt{\frac{7+3 \sqrt{5}}{2}}+\sqrt{\frac{7-3 \sqrt{5}}{2}}\right)\)
\(+6 \sqrt{\frac{7+3 \sqrt{5}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{7-3 \sqrt{5}}{2}}\)

\(\lambda^{4}=7-4\left(\sqrt{\frac{7+3 \sqrt{5}}{2}}+\sqrt{\frac{7-3 \sqrt{5}}{2}}\right)+6 \sqrt{\frac{49-45}{4}}\)
=\(7-4 \times 3+6\)
=1
En effet
\((\sqrt{\frac{7+3 \sqrt{5}}{2}}+\sqrt{\frac{7-3 \sqrt{5}}{2}})^{2}\)
=\(\frac{7+3 \sqrt{5}}{2}+\frac{7-3 \sqrt{5}}{2}+2 \sqrt{\frac{49-45}{4}}\)
=9
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{7+3 \sqrt{5}}{2}}+\sqrt{\frac{7-3 \sqrt{5}}{2}}=3\)

D’où
\(\lambda=1,\) car \(\lambda>0\)
Et par suite la bonne réponse est : B.

Q7:

Soit \(a>0\), la valeur de l’intégrale
\(\int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} dx\)
est:

A: \(\frac{πa}{4}\)
B: \(4πa\)
C: \(πa²\)
D: \(\frac{πa²}{4}\)

On a:
\(=\int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x\)
=\(a \int_{0}^{a} \sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^{2}} d x\)
Posons :
\(\forall t \in [0, \frac{\pi}{2}]\,\forall x \in[0, a]\)
\(\frac{x}{a}=\sin t\) donc \(d x=a \cos t d t\)
On a:
\(x=0 \Leftrightarrow t=0\) et \(x=a \Leftrightarrow t=\frac{\pi}{2}\)
Donc:
\(\int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x\)
=\(a \int_{0}^{a} \int_{1-\left(\frac{x}{a}\right)^{2}} d x\)
\(=a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin ^{2} t} a \cos t d t\)
=\(a^{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} t d t\)
=\(a^{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos (2 t)+1}{2}\)
=\(\frac{a^{2}}{2}\left[\frac{1}{2} \sin (2 t)+t\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
=\(\frac{a^{2} \pi}{4}\)

Et par suite la bonne réponse est D.

Q8:

On jette 3 fois un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6 ,
et on note \(a\), b et c les résultats successifs obtenus.
On note \(Q(x)=a x^{2}+bx+c\).

La probabilité pour que Q admet une seule racine double est:

A: \(\frac{11}{216}\)
B: \(\frac{7}{216}\)
C: \(\frac{5}{216}\)
D: \(\frac{9}{216}\)

Soit \(\Omega\) l’univers des éventualités de cette expérience aléatoire,
on a \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}^{3}\)
et \(\operatorname{card} \Omega=6^{3}\)
Soit l’événement \(A\) :  » le polynôme Q a une racine double « 
Q a une racine double équivaut \(\Delta=0\) équivaut \(b^{2}=4 a c,\)
donc \(A=\{(1,2,1) ;(2,4,2) ;((1,4,4) ;(4,4,1) ;(3,6,3))\}\)
On a:
\(P(A)=\frac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)}\)
=\(\frac{5}{6^{3}}\)
=\(\frac{5}{216}\)
Et par suite la bonne réponse est C.

Q9:

Une urne contient 4 boules jaunes, 3 boules rouges et 3 boules bleues.
Les boules sont indiscernables au touché.
L’expérience consiste à tirer au hasard successivement deux boules
(une après l’autre) sans remise.

La probabilité d’obtenir la deuxième boule tirée de couleur rouge est:

A: \(\frac{27}{90}\)
B: \(\frac{25}{90}\)
C: \(\frac{29}{90}\)
D: \(\frac{23}{90}\)

L’urne: (4J 3R 3B)
Soit l’événement:
A: « la 2 boule tirée est rouge  » \(RR\) ou \(\bar{R}R\)
On a :
\(P(A)=\frac{A_{3}^{2}+A_{7}^{1} A_{3}^{1}}{A_{10}^{2}}\)
=\(\frac{3 \times 2+7 \times 3}{10 \times 9}\)
=\(\frac{27}{90}\)
Et par suite la bonne réponse est A.

Q10:

On considère toujours la même expérience.
La probabilité d’obtenir la première est jaune
sachant que la première la deuxième boule tirée est rouge
est:

A: \(\frac{4}{9}\)
B: \(\frac{5}{9}\)
C: \(\frac{6}{9}\)
D: \(\frac{7}{9}\)

Soit l’événement B:  » la 1 ère boule tirée est jaune « 
Soit l’événement C:  » la 1 ère  boule tirée est jaune sachant que la 2ème boule tirée est rouge »
On a:
\(P(C)=P_{A}(B)=\frac{P(B) P_{B}(A)}{P(A)}\)
=\(\frac{\frac{4}{10} \times \frac{3}{9}}{\frac{27}{90}}\)
=\(\frac{4}{9}\)

Et par suite la bonne réponse est : A.

Q11:

Soit \(z=-1+\sqrt{2}+i\)
arg (z) est égal a :

A: \(\frac{3π}{8}\)
B: \(\frac{5π}{8}\)
C: \(\frac{7π}{8}\)
D: \(\frac{π}{8}\)

\(z=-1+i+\sqrt{2}\)
=\(\sqrt{2}e^{i(\frac{3 \pi}{4})}+\sqrt{2}\)
=\(\sqrt{2}(e^{i(\frac{3 \pi}{4})}+1)\)
=\(\sqrt{2} e^{i(\frac{3 \pi}{8})}\) \((e^{i(\frac{3 \pi}{8})}+e^{-i(\frac{3 \pi}{8})}\)
=\(2 \sqrt{2} \cos(\frac{3 \pi}{8}) e^i{(\frac{3 \pi}{8})}\)
Et comme : \(\frac{3 \pi}{8} \in] 0, \frac{\pi}{2}[\)
➝\(\cos(\frac{3 \pi}{8}) >0\)
alors
\(|z|=2 \sqrt{2} \cos(\frac{3 \pi}{8})\)
et \(Arg(z)=\frac{3 \pi}{8}\)

Et par suite la bonne réponse est : A.

Q12:

En relation avec la question précédente,
la valeur de \(cos(\frac{5π}{8})\) est:

A: \(\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}\)
B: \(-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\)
C: \(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\)
D: \(-\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}\)

On a d’une part: \(z=(-1+\sqrt{2})+1 i\)
et d’autre part
\(z=2 \sqrt{2} \cos ^{2}\left(\frac{3 \pi}{8}\right)+i\left(2 \sqrt{2} \cos \left(\frac{3 \pi}{8}\right) \sin \left(\frac{3 \pi}{8}\right)\right)\)
Donc par identification on a:
\(\cos ^{2}\left(\frac{3 \pi}{8}\right)=\frac{-1+\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}\)
=\(\frac{2-\sqrt{2}}{4}\)
(l’unicité de l’écriture algébrique)
Et comme \(\cos \left(\frac{3 \pi}{8}\right)>0\)
alors
\(\cos \left(\frac{3 \pi}{8}\right)=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\)
Et par suite la bonne réponse est C.

Q13:

Soit \(a=\cos(\frac{\pi}{5}) \cos(\frac{2 \pi}{5})\).
En calculant \(a \sin(\frac{\pi}{5}),\) la valeur de \(a\) est:

A: \(\frac{1}{2}\)
B: \(\frac{1}{3}\)
C: \(\frac{1}{4}\)
D: \(\frac{1}{5}\)

On a
a \(\sin(\frac{\pi}{5}) =\cos(\frac{\pi}{5}) \sin(\frac{\pi}{5}) \cos(\frac{2 \pi}{5})\)
=\(\frac{1}{2} \sin(\frac{2 \pi}{5}) \cos(\frac{2 \pi}{5})\)
=\(\frac{1}{4} \sin(\frac{4 \pi}{5})\)
=\(\frac{1}{4} \sin(\pi-\frac{\pi}{5})\)
=\(\frac{1}{4} \sin(\frac{\pi}{5})\)
Et comme \(\sin(\frac{\pi}{5}) \neq 0\)
alors \(a=\frac{1}{4}\)

Et par suite la bonne réponse est C.

Q14:

A partir de l’expression de la valeur de \(a\) (question précédente)
la valeur de \(b=\sin \left(\frac{\pi}{5}\right) \sin \left(\frac{2 \pi}{5}\right)\) est :

A: \(\frac{5}{4}\)
B: \(\frac{\sqrt{5}}{4}\)
C: \(\frac{1}{4}\)
D: \(\sqrt{\frac{5}{4}}\)

On a:
\(a+b=\cos (\frac{2 \pi}{5}) \cos(\frac{\pi}{5})+\sin(\frac{\pi}{5}) \sin(\frac{2 \pi}{5})\)
=\(\cos(\frac{2 \pi}{5}-\frac{\pi}{5})\)
=\(\cos(\frac{\pi}{5})\)Et on a :
\(a-b=\cos(\frac{2 \pi}{5}) \cos(\frac{\pi}{5})-\sin(\frac{\pi}{5}) \sin(\frac{2 \pi}{5})\)
=\(\cos(\frac{2 \pi}{5}+\frac{\pi}{5})\)
=\(\cos(\frac{3 \pi}{5})=\cos(\pi-\frac{2 \pi}{5})\)
=-\(\cos(\frac{2 \pi}{5})\)
Donc:
\((a+b)(a-b)=-a \cdot\) d’où \(a^{2}-b^{2}=-a\)
et par suite \(b^{2}=a^{2}+a\)
Et comme \(a=\frac{1}{4}\) (d’après \(Q 13)\)
alors \(b^{2}=\frac{5}{16}\)
et par suite \(b=\frac{\sqrt{5}}{4}\) (car: b>0)
vu que \(\frac{\pi}{5}\) et \(\frac{2 \pi}{5}\) sont des éléments de \(]0,\frac{\pi}{2}[\) .

Et par suite la bonne réponse est B.

Q15:

Soient \(A, B\) deux points distincts du plan.
L’ensemble des points \(M\) tel que:
\(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AM}-4 \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0\) est

A:Une droite
B: Un cercle
C: Une demi-droite
D: Un disque

On a:
\(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AM}-4 \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM}=0\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}(\overrightarrow{AM}-4 \overrightarrow{BM})=0\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{GM}=0\)
avec G=bar({(A,1);(B,-4)})
Donc cet ensemble est le cercle de diamètre [AG]
Et par suite la bonne réponse est B.

Q16:

L’expression simplifiée de
\(u_{n}=\prod_{k=0}^{n} \frac{k^{2}+5 k+6}{k^{2}+5 k+4}\)
est:

A: \(\frac{6n+3}{n+4}\)
B: \(\frac{n+4}{3n+6}\)
C: \(\frac{n+4}{6n+3}\)
D: \(\frac{3n+6}{n+4}\)


On a:
\(u_{n}=\prod_{k=0}^{n} \frac{(k+2)(k+3)}{(k+1)(k+4)}
=\frac{\not 2 \times 3}{1 \times A} \times \frac{\not \rho \times A}{\not 2 \times \not 8} \times \frac{A \times \not}{\not \supset \times 6} \times \ldots \times \frac{(n+1)(n+2)}{h \times(n+3)} \times \frac{(n+2)(n-3)}{(n+1)(n+4)}\)
=\(\frac{3(n+2)}{1 \times(n+4)}\)
=\(\frac{3(n+2)}{n+4}\)
=\(\frac{3n+6}{n+4}\)

Et par suite la bonne réponse est D.

Q17:

Le concours des ENSA pour l’année \(2019-2020\)
se déroule le 23 Juillet 2019
Le nombre des unités de \(23^{2019}\) est:

A: 3
B: 9
C: 1
D: 7

On sait que tout entier naturel est congru à son chiffre des unités
dans la relation de congruence modulo 10
On a:
\(a=23 \equiv 3[10]\)
donc \(23^{2019} \equiv 3^{2019}[10] .\)
or \(3^{2019}=3 \cdot\left(3^{2}\right)^{1009}\)
et comme \(3^{2} \equiv-1[10]\) et 1009 est impair
alors \(23^{2019} \equiv-3[10]\)
et comme \(-3 \equiv 7[10]\) et \(0 \leq 7\left<10\right.\)
alors 7 est le chiffre des unités de \(23^{2019}\).

Et par suite la bonne réponse est D.

Q18:

La valeur du produit suivant
\(u_{n}=\prod_{k=1}^{n}(e^{2 k}+e^{-2^{k})}\).
est:

A: \(\frac{e^{2^{n+1}}-e^{-2^{n+1}}}{e-e^{-1}}\)
B: \(\frac{e^{2^{n+1}}+e^{-2^{n+1}}}{e-e^{-1}}\)
C: \(\frac{e^{2^{n+1}}-e^{-2^{n+1}}}{e+e^{-1}}\)
D: \(\frac{e^{2^{n+1}}+e^{-2^{n+1}}}{e+e^{-1}}\)

 On a
\(\left(e-e^{-1}\right) u_{n}=\left(e^{2^{2}}-e^{-2^{2}}\right)\left(e^{2^{2}}+e^{-2^{2}}\right)\) \(\prod_{k=3}^{n}\left(e^{2^{k}}+e^{-2^{k}}\right)\)
=\(\left(e^{2^{3}}-e^{-2^{3}}\right) \prod_{k=4}^{n}\left(e^{2^{k}}+e^{-2^{k}}\right)\)
.
.
.

=\(\left(e^{2^{n}}-e^{-2^{n}}\right)\left(e^{2^{n}}+e^{-2^{n}}\right)\)
=\(e^{2^{n+1}}-e^{-2^{n+1}}\)
D’où :
\(u_{n}=\frac{e^{2^{2+1}}-e^{-2^{n+1}}}{e-e^{-1}}\)

D’où la bonne réponse est : A.

Q19:

Soient \(f_{n}(x)=e^{x}+n x^{2}-3\)
et \(u_{n}\) la solution de \(f_{n}(x)=0 \, (x \geq 0, n>0)\),
\(u_{n}\) est:

A: est croissante
B: est décroissante
C: est stationnaire
D: est périodique

On a:
\(\left(\forall n \in IN*\right) f_{n}(x)=e^{x}+n x^{2}-3, u_{n}\)
désigne la solution de l’équation \(f_{n}(x)=0\) dans \(IR^{+}\).
On a:
\((\forall n \in IN^{*})(\forall x \in IR^{+})\)
\(f_{n})(x)=e^{x}+2 n x>0\)
donc toutes les fonctions \(f_{n}\) sont strictement croissantes sur \(IR^{+}\)
On a :
\(\left(\forall n \in IN^{*}\right)\left(\forall x \in IR^{+}\right) \)
\(f_{n+1}(x)-f_{n}(x)=x^{2} \geq 0\)
donc:
\(\left(\forall n \in IN^{*}\right)\left(\forall x \in IR^{+}\right)\)
\(f_{n+1}(x) \geq f_{n}(x)\)
D’où :
\(\left(\forall n \in IN^{*}\right) \)
\(f_{n+1}\left(u_{n+1}\right) \geq f_{n}\left(u_{n+1}\right)\)
et comme
\(\left(\forall n \in IN^{*}\right) f_{n+1}\left(u_{n+1}\right)=0\)
et \(f_{n}\left(u_{n}\right)=0\)
Alors \(\left(\forall n \in IN^{*}\right) f_{n}\left(u_{n}\right) \geq f_{n}\left(u_{n+1}\right)\)
et comme \(f_{n}\) sont strictement croissantes sur \(IR^{+}\)
alors \(\left(\forall n \in IN^{*}\right) u_{n} \geq u_{n+1},\)
d’où \(\left(u_{n}\right)_{n \geq 1}\) est décroissante.

Et par suite la bonne réponse est B.

Q20:

Suite à la question précédente,
\(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}\) est égale à :

A: \(\frac{1}{2}\)
B: 0
C: 1
D: \(\frac{\sqrt{1}}{2}\)

 

Comme la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geq 1}\) est décroissante et minorée par 0.
alors
elle est convergente,
posons \(l=\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}\)
On  a :
\(\left(\forall n \in N^{*}\right) f_{n}\left(u_{n}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(u_{n}\right)^{2}=\frac{3-e^{u_{n}}}{n}\)
et comme
\(l=\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}\)
et la fonction expest continue sur \(IR\)
Alors
\(\lim _{n \rightarrow+\infty} e^{u_{n}}=e^{l}\)
et par suite:
\(\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(u_{n}\right)^{2}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{3-e^{u_{n}}}{n}=0,\)
on en déduit que:
\(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=0\)

Et par suite la bonne réponse est B.

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