Fonction Exponentiel 2 Bac SM exercices d’applications

Simplification des Expressions

Exercice 1:

Simplifier les expressions suivantes:
\(a_{1}=e^{ln13}\) ; \(a_{2}=e^{ln5}\) ; \(a_{3}=e^{-ln7}\)
\(b_{1}=e^{\frac{1}{3} ln27}\) ; \(b_{2}=e^{\frac{1}{2} ln4}\) ; \(b_{3}=e^{ln3-ln5}\)
\(c_{1}=\frac{e^{ln216}}{e^{3 ln6}}\) ; \(c_{2}=\frac{e^{8+ln7}}{e^{9+ln14}}\) ; 
\(c_{3}=-e^{-ln\frac{1}{3}}\)

Exercice 2:

Simplifier
\(A_{1}=ln(e^{-s})\)
\(A_{2}=ln(\frac{1}{e^{3}})\)
\(A_{3}=ln(\sqrt{e^{-ln(\beta)}})\)
\(A_{4}=ln(\sqrt{e^{6}})-ln(\sqrt{e^{4}})\)
\(A_{5}=\exp (-\frac{1}{5} ln(e^{-5}))\)

Exercice 3:

Si on a: \(x=3(e^{-7+ln(10^{3})}-1)\)
alors a-t-on l’égalité:
\(lnx=ln3+ln(1000-e^{7})-7\)\)

Exercice 4:

Simplifier les expressions suivantes:
\(A=(e^{x})^{7}(e^{-3 x})^{2}\)
\(B=\frac{e^{4 x+5}}{e^{4 x-3}}\)
\(C=\frac{e^{3 x}+e^{-2 x}}{e^{-x}}\)
\(D=\frac{e^{2 x} \sqrt{e^{x+2}}}{e^{1,2 x}.\sqrt[6]{e^{2 x}}}\)
\(E=ln(1+e^{2 x})-ln(1+e^{-2 x})\)
\(F=e^{m(x+1)}-e^{lnx}\)
\(G=\sqrt[3]{e^{4 t}}(\sqrt[6]{e^{x}})^{2}\)

Exercice 5:

Montrer que pour tout x ∈ IR
\((e^{-2 x}-e^{x})(1+e^{3 x})=(e^{-3 x}+1)(1-e^{3 x}) e^{x}\)
\(ln(e^{2 x}+e^{x}+1)=2 x+ln(e^{-2 x}+e^{-x}+1)\)

Exercice 6:

1) Montrer que pour tout x ∈ IR+*:
\(e^{ln(3 x+1)}-ln(5 e^{3 x})-ln(\frac{1}{5})=1\)
2) Montrer que  ∀t ∈ IR:
\(\frac{1}{e^{-2 t}+1}=\frac{1}{2}-\frac{1-e^{2 t}}{2(1+e^{2 t})}\)

Exercice 7:

On considère la fonction \(f\) définie par:
\(f(x)=e^{-ln(2 x)}-ln(e^{\frac{2 x+1}{2 x}})\)
1) Déterminer \(D\), le domaine de définition de \(f\).
2) Montrer que \(f\) est constante sur \(D\).

Exercice 8:

Soit \(f\) et \(g\) les fonctions définies sur IR par: a ∈IR*
\(f(x)=\frac{e^{α x}-1}{e^{α x}+1}\text { et }g(x)=\sqrt{e^{α x}}-e^{\frac{α x}{2}}\)
Montrer que les fonctions \(f\) et \(g\) sont impaires.

Équations – Inéquations – Systèmes

Exercice 9:

Résoudre dans \(IR\) les équations suivantes:

\(e^{x-1}=3\) ; \(e^{x-4}=e\) 
\(e^{2 x}=e^{x^{2}}\)
\(e^{2} .e^{x}=1\) ; \(e^{(x-1)(x-2)}=1\) 
\(e^{x^{2}+3 x}=\frac{1}{e^{2}}\)
\(e^{x^{2}}=\frac{1}{16}\)
\((e^{x})^{2}=\frac{1}{16}\)

Exercice 10:

Trouver les solutions de les équations suivantes dans IR :

\(e^{2 x+3}=\sqrt{e}\)
\((e^{x}-1)(e^{x}-3)=0\)
\(e^{x}=\sqrt{e^{3 x+2}}\)
\(\sqrt[3]{e}×e^{2 x}=(e^{x^{2}})^{9}\)
\(e^{-2 x}.e^{x+ln3}=e^{2 x-ln9}\)
\(e^{\frac{3 x-1}{x-3}}=e\)
\(\sqrt{1-e^{-2 x}}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{e^{-x}-7}{e^{-x}+7}=2\)
\(e^{|x^{2}-4|}=81\)

Exercice 11:

Résoudre les équations suivantes dans IR:
\(e^{2 x}+e^{x}-12=0\)
\(3e^{x}+4 e^{-x}=7\)
\(e^{4 x}-3 e^{2 x}-4=0\)
\(e^{x-2}+e^{3-x}=1+e\)
\(e^{6 x+ln2}+e^{3 x+ln5}=0\)
\(e^{\frac{3}{2} x}-3 e^{x}+3 e^{\frac{x}{2}}-2=0\)
\(\frac{2 e^{x}-1}{e^{x}-2}=\frac{-2}{1+e^{-x}}\)
\((e^{x}+e^{-x})^{3}+(e^{x}-e^{-x})^{3}=7 e^{x}\)

Exercice 12:

Résoudre dans IR:

\(e^{x^{3}} \cdot(e^{x^{2}})^{3}=e^{x}\) 
\(e^{3 x}-2 e^{2 x}-e^{x}+2=0\)
\(e^{\frac{6 x}{2 x-1}}-2 e^{\frac{4 x}{2 x-1}}-e^{\frac{2 x}{2 x-1}}+2\) 

Exercice 13:

Résoudre dans IR les équations suivantes
\(10^{3 x-1}=100\)
\(10^{x+2}=5 ; 7^{x}=21\)
\(5^{-x}=3\)
\(2^{15-3 x}=11\)
\((1,2)^{x+3}=e\)
\(7^{x}=(\sqrt{7})^{3-x^{2}}\)
\(3^{x+1}+3^{x+2}=12 \sqrt{3}\)
\(2^{2 x-1}+3^{x}+4^{x+\frac{1}{2}}-9^{\frac{x}{2}+1}=0\)

Exercice 14:

Résoudre dans IR les inéquations suivantes:
\(e^{2 x}<1 ; e^{-x} ≥-3\)
\(e^{\frac{x}{3}}<e^{2}\)
\(e^{3 x-1}>\sqrt[6]{e^{3}}\)
\(3≤ 4-e^{x^{2}}\)
\(3e^{-x+1}>e^{x}\)
\(e^{-4 x^{2}+2 x} ≥ 1\)
\(e^{3 x+2 ln7} ≥ \frac{1}{e^{4 x}}\)
\(\frac{1}{e^{2-x}}≤ \frac{3}{e^{2 x}}\)
\((e^{x})^{2}>e^{x^{2}}\)

Exercice 15:

Résoudre les inéquations suivantes dans IR :
\(ln(4-e^{x}) ≥ 2\)
\((e^{x}+1)(e^{x}-5)>0\)
\(e^{x}-\frac{9}{e^{x}}<0\)
\(\frac{2-3 e^{-x}}{1-3 e^{-x}}<\frac{1}{2}\)
\(e^{\frac{16 x}{24 x+9}} ≥ 2 \)
\(\frac{e^{\frac{8}{3} x}}{e^{4 x+\frac{3}{2}}} ≥ e^{-2}\)
\((e^{x}-2)(e^{x}-4)<0\)
\(-1<\frac{e^{2 x}-1}{e^{2 x}+1}<1\)

Exercice 16:

Résoudre dans IR les inéquations suivantes:
\(7 e^{2 x}-4 e^{x}-3>0\)
\(e^{3 x}-6 e^{2 x}+3 e^{x}≤ 0\)
\(1-2 e^{x}≤ 2 e^{x}(1-2 e^{x})\)
\(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}+1>0\)
\(e^{2 x}+e^{2(\mathfrak{l}(2)-x)}≤ 5\)
\(e^{2 x}-e^{x+2}-e^{2-x}+1≤ 0\)

Exercice 17:

Résoudre dans IR² les systèmes suivants:
\(\{\begin{array}{l}e^{x-y}=12 e^{-2} \\ e^{x+y}=\frac{4}{3}\end{array}\)
\(\{\begin{array}{l}e^{x}+e^{-y+1}=e+1 \\ e^{x-1}+e^{-y}=2 \end{array}\) 
\(\{\begin{array}{l}2 e^{x+\ln 2}-e^{y}=15 \\ e^{x}+e^{y}=20 \end{array}\) 
\(\{\begin{array}{l}e^{2 x+1}=7 e^{y}-10 \\ 2(x-y)+1=0 \end{array}\)
\(\{\begin{array}{l}x+y=1 \\ 3 e^{x-3}-e^{y+2}=2 \end{array}\)
\(\{\begin{array}{l}4 e^{-x}+3 e^{-y}=1 \\ 3 e^{x-y}=4 \end{array}\)

Calcul des Limites

Exercice 18:

Calculer les limites suivantes:
\(\lim _{x ➝+∞}(e^{2 x}-e^{3 x}+e^{x})\)
\(\lim _{x ➝+∞}(e^{2 x}-e^{3 x})\)
\(\lim _{x ➝+∞}(3 x-e^{x})\)
\(\lim _{x ➝+∞} x(e^{3 x}-e^{x})\)
\( \lim _{x ➝+∞} x(e^{\frac{3}{x}}-1)\)
\(\lim _{x ➝+∞} x e^{x^{2}}-e^{3 x}+x^{2}\)
\(\lim _{x ➝+∞} e^{\frac{x+3}{x-1}}\)
\(\lim _{x ➝ 0^{+}} e^{\frac{1-x}{x}}\) 
\(\lim _{x ➝+∞} \frac{e^{x}-2}{x}\)
\(\lim _{x ➝ 0^{+}} \frac{e^{\sqrt{x}}-1}{4 x}\)
\(\lim _{x ➝+∞} \frac{2 e^{1-2 x}}{x}\)
\(\lim _{x ➝ 0} \frac{e^{2 x}-1}{x^{2}-x}\)
\(\lim _{x ➝+∞} \frac{e^{-2 x}+1}{e^{x}+e^{-x}}\)
\(\lim _{x ➝+∞} \frac{e^{x}-2}{x^{2}+3}\)
\(\lim _{x ➝+∞} \frac{1-e^{-x}}{x}\) 
\(\lim _{x ➝ 0^{+}} \frac{e^{x}-1}{\sqrt{x}}\)
\(\lim _{x ➝+∞} \frac{e^{x}}{\sqrt{x}}\)
\(\lim _{x ➝+∞}(x+\frac{1}{x}) e^{x}\)
\(\lim _{x ➝+∞} \frac{e^{x}-1}{\sqrt{x}}\)
\(\lim _{x ➝+∞} e^{x} ln(1+e^{-x})\)
\(\lim _{x ➝+∞} x^{2}(e^{\frac{1}{x}}-e^{\frac{1}{x+1}})\)
\(\lim _{x ➝ 0^{+}}(\sin x) e^{\frac{1}{x}}\)
\(\lim _{x ➝ 0^{+}} x e^{\frac{1}{\tan x}}\)

Calcul des Dérivées

Exercice 19:

Étudier la dérivabilité de la fonction \(f\) 
puis calculer sa dérivée dans chacun des cas suivants:
1) \(f(x)=e^{2 x-1}\)
2) \(f(x)=e^{-3 x^{2}+2 x-7}\)
3) \(f(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\)
4) \(f(x)=e^{\sqrt{2 x-1}}\)
5) \(f(x)=\sqrt{e^{2 x}-e^{x}}\)
6) \(f(x)=e^{\cos x}-e^{-\cos x}\)
7) \(f(x)=ln(4+e^{5 x})\)
8) \(f(x)=x e^{\text {Astin } x}\)
9) \(f(x)=x e^{\frac{2 x}{x^{2}-1}}\)
10) \(f(x)=ln(|e^{2 x}-1|)\)

Détermination des Primitives

Exercice 20:

Dans chacun des cas suivants, 
déterminer une primitive de la fonction \(f\) 
sur un intervalle convenable
1) \(f(x)=e^{-2 x+5}\)
2) \(f(x)=\sqrt{e^{3 x}}\)
3) \(f(x)=x e^{x^{2}+1}\)
4) \(f(x)=\frac{e^{2 x}}{\sqrt{2 e^{2 x}+3}}\)
5) \(f(x)=\frac{e^{-\text {Arctan } x}}{1+x^{2}}\)
6) \(f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}\)
7) \(f(x)=\cos x . e^{\operatorname{th} x}\)
8) \(f(x)=\frac{e^{4 x}+e^{x}}{e^{4 x}+4 e^{x}+3}\)
9) \(f(x)=(1+\tan ^{2} x) e^{-\tan x}\)
10) \(f(x)=2^{x}\)

Exercice 21:

On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(IR\)
par:
\(f(x)=e^{2 x} \cos x\)
1) Montrer qu’il existe deux réels \(α\) et \(\beta\) à déterminer
tels que ∀x ∈IR:
\(f(x)-α f^{\prime}(x)+\beta f^{\prime \prime}(x)=0\)
2) En déduire les primitives de \(f\) sur \(IR\)

Exercice 22:

a et b étant deux réels strictement positifs et différents de 1. 
Simplifier les expressions suivantes
\(A=\frac{(\frac{a^{2}}{b^{2}})^{x-1,5} \times(b^{3})^{x-\frac{1}{3}} \times(a^{-1})^{2 x}}{b^{-2 x} \times(a^{3})^{-x} \times(a b)^{3 x}}\)
\(B=\frac{(4 a^{-3})^{-\sqrt{2}}}{(\sqrt[3]{b^{-2}})^{\frac{3}{2}}}×\frac{\sqrt[3]{27 a^{-\sqrt{2}}}×\sqrt{b^{2}}}{2^{-2 \sqrt{2}}×a^{4}}\)
\(C=\frac{a×a^{\frac{2}{1+\sqrt{2}}}+a^{2 \sqrt{2}+1}}{a^{2 \sqrt{2}}+\sqrt[3]{a^{\frac{6}{1+\sqrt{2}}}}}\)

Exercice 23:

Ecrire sous la forme d’une puissance de \(e\) :
\(D=(e^{12} e^{-5+4 \sqrt{3}})^{7-4 \sqrt{3}}\)
\(E=(\frac{e^{\sqrt{290}}}{e^{17}})^{\sqrt{290}+17}\)

Exercice 24:

Résoudre les équations suivantes dans IR
\(3^{x+1}=5^{x}\)
\(2^{\frac{x}{2}+1}=3^{x-3}\)
\(2^{x+1}.3^{x+\frac{1}{2}}=3 \sqrt{2}.6^{2 x}\)
\((\frac{1}{13})^{x^{2}-3 x}=169\)  \(7^{x}=3^{x^{2}}\)
\(9^{x}-3^{x+1}-54=0\)
\(5^{2 x+2}-126×5^{x+1}+125=0\)  \(4^{x+1}+2×4^{-x}=7\)
\(100^{x-\frac{1}{2}}-12×10^{x-1}+2=0\)
\(7^{x+2}-7^{-x-1}=6\)
\(100^{2 x}-10^{2 x+1}+9=0\)
\(2^{2 x}-6^{x}=2×3^{2 x}\)

Exercice 25:

Résoudre dans IR les équations suivantes:
\(2×3^{-2 x+1}+\sqrt{3}×3^{-x+1}=2\)
\(x^{\sqrt{x}}=(\sqrt{x})^{x}\)
\(4^{x}-3^{x \frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}-2^{2 x-1}\)
\(x^{x+1}=x^{\frac{6}{x}}\)
\(2^{2 x-1}+3^{x}+4^{x-\frac{1}{2}}-9^{\frac{x}{2}+1}=0\)
\(x^{\sqrt{x}}=(\sqrt[4]{x})^{1+\sqrt{x}}\)

Exercice 26:

1) Résoudre dans IR :
 \(2^{\sin^{2} x}=cos x\)
2) Soit a le nombre : 
\(a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}\)
Montrer que l’équation \(a^{2 x}-3 a^{x}+1=0\) 
admet deux solutions réels \(α\) et \(\beta\) telles que: 
\(α \beta=-1\)
3) On considère l’équation \((E)\) suivante :
\((E): 15×4^{x}+8(5^{x}+6^{x}-7^{x})=0\)
Vérifier que 4 est une solution de \((E)\) puis la résoudre

Exercice 27:

Résoudre dans IR :
\(\log (2)+\log (4^{x-1}+9)≤ 1+\log (2^{x-1}+1)\)
\(2^{x}<\frac{1}{2}\)
\((2^{1+\frac{1}{x}})^{3}-2^{2+\frac{2}{x}}-2^{2+\frac{1}{x}}+2>0\)
\((\sqrt{7})^{x} ≥ 125\)
\(ln(e^{x^{2}-4}-6 e^{4-x^{2}}) ≥ 0\)
\((\frac{\pi}{2})^{x}>3 ; 11^{-x}<11^{2 x}\)
\((\frac{1}{13})^{5 x}≤ \frac{5}{4} ; 2^{x}+2^{-x} ≥ \frac{5}{2}\)
\(3^{2 x}+3^{x}-2≤ 0\)
\((5^{x}-2)(3^{x+3}-9^{x+1}-18)≤ 0\)\(\frac{2^{x}}{2^{x}+2^{-x}}<\frac{1}{3}\)

Exercice 28:

Calculer les limites suivantes : m ∈ IR+*
\(\lim _{x ➝+∞}(\frac{2}{3})^{x}\)
\(\lim _{x ➝ 0^{+}} x^{\sqrt{x}}\) 
\(\lim _{x ➝ 1} \frac{x^{\sqrt{x}}-1}{x-1}\)
\(\lim _{x ➝ 0^{+}}(1-x)^{\frac{1}{x}}\)
\(\lim _{x ➝(\frac{\pi}{2})^{-}}(\tan x)^{\cos x}\)
\(\lim _{x ➝ 0^{*}}(x^{2})^{\frac{1}{ln^{2} x}}\)
\(\lim _{x ➝+∞} x^{\frac{1}{x}}\)
\(\lim _{x ➝ 0}(\frac{1+\sin x}{1+x})^{\frac{1}{x}}\) 
\(\lim _{x ➝+∞}(\frac{4 x+15}{4 x+7})^{x}\)
\(\lim _{x ➝ 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}}\)
\(\lim _{x ➝+∞}(\frac{lnx}{ln(x+1)})^{x lnx}\)
\(\lim _{x ➝+∞}(\frac{x}{x-m})^{x}\)
\(\lim _{x ➝ 1^{+}} \frac{x^{x}-x}{ln(1+\sqrt{x^{2}-1})}\)
\(\lim _{x ➝+∞} x((m+\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}}-1)\)

Exercice 29:

Résoudre dans IR² les systèmes suivants:
\(\{\begin{array}{l} 3^{x}+7^{y}=16 \\ 3^{x}-7^{y}=2 \end{array}\)
\(\{\begin{array}{l} 2^{x-2}×2^{y-1}=1 \\ 2^{y}+2^{y}=5\sqrt{2}\end{array}\)
\(\{\begin{array}{l} 4^{x}×5^{y}=5^{2 x+1} \\ 20^{x}+25^{y}=5^{2 y+1}\end{array}\)
\(\{\begin{array}{l} 2^{x+y}=16\sqrt{2} \\ 2^{x}+2^{x-y}=12 \sqrt{2}\end{array}\)
\(\{\begin{array}{l}e^{\frac{x}{x-1}}+e^{\frac{y}{y+1}}=13  \\ e^{\frac{2 x+x-y}{(x-1)(y+1)}}=42\end{array}\)
\(\{\begin{array}{l}5^{x}×5^{2 y}=25 \\ log _{3} x+\log _{3}(2 y+3)=1\end{array}\)

Etude des Fonctions Numérique

Exercice 30:

Soit \(f\) la fonction définie sur IR par:
\(f(x)=\frac{e^{2 x}-1}{e^{2 x}+1}\)
1) Montrer que la fonction \(f\) est impaire.
2) Montrer que ∀x ∈ IR:
\(f(2 x)=\frac{2 f(x)}{1+f^{2}(x)}\)
3) Montrer que ∀(x, y) ∈ IR²:\( f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x) f(y)}\)

Exercice 31:

Pour tout entier n ≥ 3 
on considère la fonction \(f_{n}\) définie sur IR par :
\(f_{n}(0)=0\)
\(f_{n}(x)=\frac{x^{n}}{e^{x}-1} : x ≠0 \)
1) Montrer que la fonction \(f\), est continue en 0 .
2) Montrer que \(f_{n}\) est dérivable à droite en 0
3) Calculer la limite : \(\lim _{x ➝+∞} f_{n}(x)\)

Exercice 32:

Soit \(a\) un réel strictement positif et différent de 1 . 
Discuter selon les valeurs de réel \(a,\) le nombre de solutions de l’équation :
(E): \(a^{(α^{x})}=x\)

Exercice 33:

On considère la fonction \(f\) définie sur IR par:
\(f(x)=\frac{1}{2} x^{2}-x+x e^{-x}\)
1) Calculer les limites : 
\(\lim _{x ➝+∞} f(x)\)
\(\lim _{x ➝+∞} f(x)\)
2) Montrer que ∀ x ∈ IR: \( f^{\prime}(x)=(x-1)(1-e^{-x})\)
3) Dresser:
 le tableau de variations de \(f\).
4) Tracer:
 la courbe \(C_{f}\) dans un repère orthonormé.

Exercice 34:

Soit \(f\) la fonction définie sur \(IR\) par: 
\(f(x)=\frac{e^{x}}{\sqrt{1+x^{2}}}\)
\((C)\) désigne sa courbe représentative dans un repère 
orthonormé \((O ; \vec{i}, \vec{j})\)1) a) Calculer:
\(\lim _{x ➝-∞} f(x)\) \(\lim _{x ➝+∞} f(x)\)
\(\lim _{x ➝+∞} \frac{f(x)}{x}\).
b) Etudier:
 les branches infinies de la courbe \(C\).
2) Justifier que:
 \(f\) est dérivable sur IR puis calculer:
\(f^{\prime}(x)\) pour tout \(x ∈ IR\)
3) Dresser:
 le tableau complet de variation de \(f\). 
4) Ecrire l’équation de la tangente \((T)\)  à \((C)\) au point d’abscisse 0 .5) Tracer \((T)\) et\((C)\).

Exercice 35:

Soit \(f\) la fonction définie par: 
\(f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}}\)
désigne sa courbe représentative dans un repère 
orthonormé \((O ; \vec{i}, \vec{j})\)
1) Justifier que:
le domaine de définition de la fonction \(f\) est:
 D=]-1;0[U]0;+∞[
2) a) Calculer les limites aux bornes de \((C)\).
b) \(f\) est-elle prolongeable par continuité en 0 ?
en -1 ?
3) Justifier soigneusement la continuité de la fonction \(f\) 
en tout point de D.
4) a) Justifier la dérivabilité de la fonction \(f\) 
sur chacun des intervalles ]-1;0[ et ]0;+∞[
b) Montrer que:
 pour tout x ∈ D :
\(f^{\prime}(x)=\frac{(x+1)^{\frac{1}{x}}[x-(x+1) ln(x+1)]}{x^{2}(x+1)}\)
c) Dresser le tableau de variations de \(f\) Tracer  \((C)\)

Exercice 36:

La résistance \(R\) d’une thermistance varie avec la
température Kelvin T selon la loi: 
\(R(T)=R_{1} e^{\frac{1}{a}(\frac{L}{T}-\frac{1}{T_{1}})}\)Avec: \(a=4×10^{3} K\) et \(R_{1}=10^{3} \Omega\) à \(T=300 K\).
1) Déterminer le coefficient de température :
\(k(T)=\frac{1}{R(T)}.\frac{d R}{d T}(T)\) et le calculer à 300K.
2) Sachant que nous mesurons la résistance 
avec une précision de \(0,1 \%,\) 
quelle variation de température pouvons-nous 
détecter au voisinage de \(300 K\) ? 
Indication utiliser la formule que : 
\((\Delta T=|\frac{1}{k}| \frac{\Delta R}{R})\)

Exercice 37:

1) Soit \(u\) la fonction définie sur IR par:
\(u(t)=E(1-e^{\frac{t}{R C}})\) si \(t ≥ 0\) 
\(u(t)=0\) si \(t<0\)
a) Déterminer l’équation de la demi-tangente à
droite en 0 à la courbe \(C_{u}\).
b) Déterminer les coordonnées du point d’intersection \(A\) 
de cette demi-tangente et de l’asymptote horizontale à \(C_{u}\)
2) Soit \(i\) la fonction définie sur \(IR\) par:
\(i(t)=\frac{E}{R} e^{\frac{t}{R C}}\) si \(t ≥ 0\) 
\(i(t)=0\) si \(t<0\)
a) Donner l’équation de la demi-tangente à droite
en 0 à la courbe \(C_{i}\)
b) Donner les coordonnées du point d’intersection \(B\) 
de cette demi-tangente et l’axe des abscisses.

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