Exercices Arithmétiques Bac 2 Sciences Mathématiques Série 2

Exercices Arithmétiques Bac 2
Exercices  Arithmétiques  Bac 2 Sciences Mathématiques Série 2

📑 Exercice 11 :

1) Trouver le reste de la division euclidienne de \(8^{2017}\) par 5.
2) a) Montrer que pour tout n ∈IN et n ≥2 , \(10^{n}\)≡ 4 [12].

b) Trouver le reste de la division euclidienne par 12
de l’entier x = \(123^{4567}\) + \(89^{1011}\).
3) a) Quel est le reste de la division euclidienne par 7 de l’entier \(1976^{57}\).
b) Déterminer l’ensemble des entiers naturels n
tels que \(1976^{n}\) soit congru à 4.

📑 Exercice 12 :

Démontrer que , pour tout entier naturel n, \(4^{n} ≡ 1 [3]\).
2) Prouver que \(4^{28} – 1\) est divisible par 29 .
3) Pour 1≤n≤4 , déterminer le reste de la division euclidienne de \(4^{n}\)par 17.
En déduire que, pour tout entier naturel k , le nombre \(4^{4k}\)-1 est divisible par 17.
4) Pour quels entiers naturels n le nombre \(4^{n}\)-1 est-il divisible par 5 ?
5) En déduire quatre diviseurs premiers de \(4^{28}\)-1.

📑 Exercice 13 :
On considère l’équation (E) : 8x + 5y = 6
1) a) Montrer que (2-2) est une solution de (E).
b) Résoudre dans Z l’équation (E).
2) Soit (x,y) une solution de (E) et d = x∧y
a) Quelles sont les valeurs possibles de d ?
b) Déterminer les couples (x,y) solutions de (E) pour lesquels d = 3
3) On considère le système (S):
\(\left\{\begin{array}{l} n ≡ 2 [5] \\ n ≡ -2 [8] \end{array}\right.\) où n est un entier.
a) Montrer que n est une solution de (S) si et seulement si n ≡ 22 [40].
b) Étudier suivant les valeurs de l’entier naturel n (n≥3),
le reste modulo 40 de \(22^{n}\)
c) Déterminer le reste modulo 5 de 2022 et le reste modulo 8 de 2022.
d) En déduire que:
l’entier (\(2022^{2017}\)- 32)est divisible par 40.

📑 Exercice 14 :
Soit a un entier naturel non nul tel que : a∧10 = 1
1) a) Montrer que a est impair.
En déduire que \(a^{8} ≡ 1 [2]\).
b) Montrer que a est non divisible par 5 et que \(a^{4} ≡ 1 [5]\).
c) En déduire que \(a^{8} ≡ 1 [10]\).
2) a) Montrer que pour tout entier naturel k , \(a^{8.10^{k}}≡ 1 [10^{k+1}] \).
En déduire que \(a^{800000001} ≡ a [10^{9}]\).
b) En déduire qu’il existe un entier naturel x tel que:
l’écriture décimal de \(x^{3}\) se termine par le nombre 23456789.
3) Soit N = \(2017^{801}+2017^{8000}\).
Déterminer les trois derniers chiffres de N.

📑 Exercice 15 :
On pose a = \(7^{2009}+7^{2010}+7^{2011}\).
1) Soit n un entier naturel ,
discuter suivant les valeurs de n, le reste de \(7^{n} \) modulo 100.
2) En déduire qu’il existe un entier naturel k tel que a = 100k-1.
3) a) En utilisant la formule du binôme, montrer que a \(a^{100}≡ 1 [1002]\).
b) Déterminer les quatre derniers chiffres de \(a^{100}\).

📑 Exercice 16 :
(A)
Soit q un entier naturel.
1) Montrer que \(q^{2}\). est impair si et seulement si q est impair.
2) Montrer que si q est impair alors \(q^{2} ≡ 1 [8]\).
(B)

On se propose de déterminer l’ensemble A:
A: des triplets d’entiers naturels non nuls (m,n,q).
tels que \(2^{2m}+3^{2n}=q^{2}\).
1) Vérifier que (2,1,5) est un élément de A.
Dans la suite de l’exercice on suppose que (m,n,q) un élément de A.
2) a) Montrer que q est impair.
b) Montrer que \(q^{2}-3^{2n} ≡ 0 [8]\).
c) Montrer alors que m est différent de 1.
3) On suppose que m ≥ 2.
a) Justifier que les entiers (\(q – 3^{n}\)) et (\(q + 3^{n}\)) sont pairs.
b) Soit d = (\(q – 3^{n}\)) ∧ (\(q + 3^{n}\))
Montrer que d divise 2q et que d divise \(2^{2m}\).
En déduire que d = 2.
c) Montrer que \(q – 3^{n} = 2\) et que \(q + 3^{n} = 2^{2m-1}\).
En déduire que \(q = 2^{2m-2} + 1 \) et que \(3^{n} = 2^{2m-2} – 1\)
4) Déterminer n et q lorsque m = 2.
5) On suppose que m ≥ 3.
a) Montrer que: \(3^{n} ≡ -1 [16]\)
b) Déterminer, suivant les valeurs de l’entier naturel k,
les restes possibles de \(3^{k}\) dans la division euclidienne par 16.
c) En déduire qu’il n’existe pas de triplets (m,n,q) éléments de l’ensemble A
tel que m ≥ 3.
6) Déterminer l’ensemble A.

📑 Exercice 17 :
1) Soit a un entier tel que \(a ≡ 1 [10]\)
a) Montrer que \(a^{9}+a^{8}+a^{7}+…+a+1 ≡ 0 [100]\).
b) En déduire que \(a^{10} ≡ 1 [100]\).
On pourra utiliser l’égalité:
\((a^{10}-1)=(a-1)(a^{9}+a^{8}+…+a+1)\).
2) Soit b un entier.
a) Déterminer les restes possibles de \(b^{4}\) dans la division euclidienne par 10.
b) En déduire que \(b^{4} ≡ 1 [10]\) si et seulement si b est premier avec 10.
3) Soit b un entier premier avec 10.
a) Montrer que \(b^{40} ≡ 1 [100]\).
b) Déterminer les deux derniers chiffres de \(67^{42}\).

📑 Exercice 18 :
1) Soit a un entier tel que \( a ≡ 1 [2^{4}] \) et \( a ≡ 1 [5^{4}] \).
Montrer que \( a ≡ 1 [10^{4}] \).
2) Soit \(b = (9217)^{4}\).
Montrer que b ≡ 1 [5] et \(b ≡ 1 [2^{4}] \).
3) Pour tout entier naturel n , on pose \( b_{n} =b^{5n} – 1 \).
4) a) Montrer que pour tout entier naturel n,
\( b_{n+1} =(b_{n}+1)^{5} – 1 \).
b) En déduire que pour tout entier naturel n, \( b_{n+1} =b_{n}^{5}+5b_{n}^{4}+10b_{n}^{3}+10b_{n}^{2}+5b_{n} \).
5) a) Montrer que
si \( 5^{n+1}\) divise \(b_{n} \) alors \( 5^{n+2}\) divise \(b_{n}^{5} \).
b) Montrer, par récurrence, que
pour tout entier naturel n, \(b_{n} ≡ 0 [5^{n+1}]\).
6) a) Montrer que \( (9217)^{500} ≡ 1 [625] \).
b) Montrer que \((9217)^{500} ≡ 1 [10000] \).
c) Trouver un entier dont le cube est congru à 9217 (mod 10000).

📑 Exercice 19 :
1) a) Montrer que, pour tout n∈IN , on a : \(7^{4n} -1\) est divisible par 5.
b) Déterminer, pour tout entier n∈{0,1,2,3,4} le reste modulo 5 de \(7^{n} \).
c) En déduire que l’entier \(2×7^{2017}+49^{2016} \) est divisible par 5.
2) a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n
et pour tout entier q, on a :
\((1-q^{n+1}=(1-q)(1+q+q^{2}+…+q^{n})\).
b) On pose, pour tout n∈IN,
\(S_{n}=\sum_{k=0}^{k=n} 7^{k} \).
Montrer que \(S_{n} \) divise \(7^{n+1}-1 \).
3) a) Déterminer, pour tout n∈IN, le chiffre des unités de \(7^{4n+1}\).
b) Soit x un entier, montrer l’équivalence :
6x ≡ 0 [10]. si et seulement si x ≡ 0 [10] ou x ≡ 6 [10].
c) Montrer que \(S_{100} \) est un entier impair.
d) En déduire le chiffre des unités de \(S_{100} \).

📑 Exercice 20 :
Pour tout entier naturel n,
on prend \(a_{n}=2^{2^{n+2}} + 1\).
1) a) Vérifier que pour tout n∈IN; \(a_{n+1}=1 + (a_{n} – 1 )^{2} \).
b) Montrer que pour tout n∈IN; \( a_{n} ≡ 7 [10] \).
2) a) Vérifier que \(36^{6} ≡ 36 [100]\).
b) En déduire que \(36^{16} ≡ 36 [100]\).
3) a) Vérifier que pour tout n∈IN; \(a_{n+4} = 1 + (a_{n} – 1 )^{16} \).
b) Montrer par récurrence que pour tout n∈IN; \( (a_{4n+2} ≡ 37 [100] \).
c) Déterminer les deux derniers chiffres du nombre:
\(N=2^{2^{8}} + 2^{2^{9}} \).

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1 commentaire

l’exercice17 1/a) si a=1 alors a^9+a^8+…+a+1 n’est pas congru à 0 modulo100
de même si a=11 , a^9+a^8+…+a+1est congru à 60 modulo 100

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