Cours Arithmétique dans IN PDF partie 1

Cours Arithmétique et exercices
Cours et exercices Arithmétique dans IN partie 1

📑 Notations IN = {0,1,2,3,…} l’ensemble des entiers naturels,
IN∗ l’ensemble des entiers naturels non nuls ;
Z = {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…} l’ensemble des entiers relatifs ;
Q l’ensemble des nombres rationnels,
c’est-à-dire qui peuvent s’écrire sous la forme:
\(\frac{a}{b}\) avec a ∈ Z et b ∈ IN∗
IR l’ensemble des nombres réels.
Q∗ désigne l’ensemble des rationnels non nuls,
Q∗+ l’ensemble des rationnels strictement positifs
Q∗− l’ensemble des rationnels strictement négatifs.
On introduit de même les notations Z−, Z∗, R∗, R∗+, R∗-.
Si a et b sont deux nombres, alors ab désigne le produit a×b.

(m,n,a,b,d,p,k sont des nombres entiers naturels)
📑 Nombres pairs & impairs 
n est un nombre pair ⇔ n = 2k.
n est un nombre impair ⇔ n = 2k+1.
Exemple: 
6 est paire car 6=2×3.
15 est impaire car 15=2×3+1.
4n est paire car 4n=2×2n.
 6n+5 est impaire car 6n+5=6n+4+1=2×(3n+2)+1.

Exercices: 1) Déterminer les nombres pairs et les nombres impairs
a) 33²+55² 
b)12²-27² 
c) 23³- 57³ 
d) 5543×9876 
e)11¹¹-45⁴⁵
2) Déterminer les nombres pairs et les nombres impairs
a) 6n+3 
b) 22n-1 
c) (3n+1)(5n-7) 
d) \(4n^{2}-2n+9\).
e) (2019)² .
3) n est un nombre entier impair m est un nombre entier naturel.
Que peut-on dire de la parité de m dans les cas suivants :
a) n+2m 
b) n-m
c) n×m
d) n²+2019 
e) \(n^{2019}\).
4) Soit n un nombre entier naturel.
Montrer que les nombres suivants sont des nombres impairs :
a) n²+5n+3
b) n³+n+3 
c) (4n+2)²-(3n-1)²
5) Soit m un nombre entier naturel.
a) Montrer que si m² est pair alors m est pair.
b) Montrer que si m ²est impair alors m est impair.

📑 Multiple d’un nombre entier naturel m est multiple de a ⇔ m = ka.
Exemple: 
21 est un multiple de 3 car 21=3×7.
6n² est un multiple de n car 6n²=n×6n.
Exemple: 
– Les multiples de 2 ceux qui se terminent par 0, 2, 4, 6 ou 8.
– les multiples de 3 sont les nombres dont la somme des chiffres est un multiple de 3.
– Les multiples de 5 sont les nombres qui se terminent par 0 ou 5.
– Les multiples de 9 sont les nombres dont la somme des chiffres est égale à 9.
– Les multiples de 4 sont les nombres dont les deux derniers chiffres constituent un multiple de 4.

📑 Diviseur d’un nombre entier naturel d est un diviseur du nombre b ⇔ b=kd.
Exemple: 
4 est un diviseur de 36 car 36=4×9.

72 est divisible par 8 (et par 9) car 72=8×9.


Exercices: 

1) Montrer que 2220 est un multiple de 2,3,4 et 5.
2) Montrer que 2025 est un multiple de 9.
3) Montrer que 9³+1 est un multiple de 10.
4) Montrer que 2019³-2001³ est un multiple de 18.
5) Montrer que 210 est un multiple de 6,7, 15 et 70.


📑 Plus grand diviseur commun de deux nombres d est le plus grand diviseur commun de a et b :
d divise a. ↛ d divise b.
d est le plus grand parmi les diviseurs de a et b
on note; PGCD(a,b)=d
Exemple: 
Calcule de PGCD(24; 36)
Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24
Les diviseurs de 36 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36
24 et 36 ont pour diviseurs communs: 1, 2, 3, 4, 6 et 12
Le plus grand d’entre eux est 12
PGCD(24; 36)=12
📑 Plus petit multiple commun de deux nombres m est le plus petit multiple commun de a et b:
m est un multiple de a ↛ m est un multiple de b
 m est le plus petit multiple non nul de a et b
on note: PPCM(a,b)=m
Exemple: 
Calcule de PPCM(12,9)Les multiples de 12 sont : 0,12,24,36,48,60,72,84,96,118
Les multiples de 9 sont : 0,9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99,118
Les multiples communs sont : 0,36,118
Le plus petit multiple commun non nul est; 36
PPCM(12,9)=36.

Exercices: 

1) Calculer (avb) le plus petit multiple commun des nombres a et b. 
dans chacun des cas suivants : 
a) a=7 et b=13 
b) a=10 et b=25 
c) a=36 et b=60
2) Calculer a∧b le plus grand diviseur commun des nombres a et b.
dans chacun des cas suivants:
a) a=5 et b=11
b) a=6 et b=20
c) a=14 et b=70
3) Calculer x∨y et x∧y dans chacun des cas suivants :
a) a=3 et b=13
b) a=8 et b=10
c) a=11 et b=33
Comparer (xvy)×(x∧y) et xy dans chaque cas précédent.
4) Déterminer Tous les diviseurs communs des deux nombres 320 et 126,
puis des deux nombres 405 et 225.
5) Décomposer les deux nombres 3542 et 598 en produit de facteur premiers.
* En déduire le plus petit multiple commun ces deux nombres.
6) Décomposer les deux nombres 828 et 3060 en produit de facteurs premiers.
* En déduire le plus grand diviseur commun ces deux nombres.

📑 Nombres premiers p est premier ↔️ p a exactement deux diviseurs 1 et p.
Exemple: 
7 est premier car les diviseurs de 7 sont 1&7.
14 n’est pas premier car 2 est diviseur de 14  avec 2≠1 & 2≠14.
Exemple: 
le nombre des entiers naturels premiers plus petits que 100 est \(\frac{100}{4}\) =25.

Crible d’Ératosthène:

Dans le crible d’Ératosthène, qui contient les nombres de 1 à 100, 
1 est considéré comme n’étant pas un nombre premier.
et on a rayé successivement les multiples de:
2, ceux de 3, ceux de 5 et ceux de 7, 
pour obtenir la liste des nombres premiers inférieurs à 100.


Exercices: 
1) Lequel de ces nombre 0,1,101 est premier. Pourquoi ?
2) Combien existe-t-il de nombres pairs et premiers ?
3) Combien existe-t-il de nombres multiples de 13 et premiers ?
4) Est-ce-que tout nombre impair est premier ? Pourquoi ?
5) Est-ce-que tout nombre premier est impair ? Pourquoi ?

Exercices Corrigé:

Soient m et n deux nombres entiers naturels tels que m > n.
1) Montrer que (m-n) est (m+n) ont la même parité.
2) Déterminer les nombres entiers naturels x et y qui vérifient : x²-y²=42
Corrigé:1) Supposons que( m-n) est pair.
Donc il existe un nombre entier naturel k tel que m-n=2k
Or (m+n)+(m-n)=2m
par conséquent m+n=2m-(m-n)=2m-2k.
c’est-à-dire m+n=2(m-k)
Il s’ensuit que m+n est pair.
De la même façon, on établit que si m-n est impair alors m+n est impair.
2) Déterminons x et y tels que : x²-y²=28
x²-y²=42 signifie (x-y)×(x+y)=42 
Comme 28=1×28=2×14=7×4.
x-y ≤x+y et (x-y) et (x+y) ont la même parité.
alors: x-y=2 & x+y=14.
c’est-à-dire: 2x=16 & 2y=10
Donc: x=8 & y=5.

📑 Décomposition en produit de facteurs premiers Tout nombre entier naturel non premier et supérieur à 1
peut être décomposé en produit de facteurs premiers.
Exemple: 
Décomposition de nombre 60 en produit de facteurs premiers.
60 = 2×30 (2 est le plus petit nombre premier qui divise le nombre 60)
30 = 2×15 (2 est le plus petit nombre premier qui divise le nombre 30)
15 = 3×5 (3 est le plus petit nombre premier qui divise le nombre 15)
5 = 5×1 (5 est un nombre premier)
donc la décomposition est terminée
alors : 60=2×2×3×5=2²×3×5.

* 36 = 4×9 = 2×2×3×3 = 2²×3².
* 154 = 2×77 = 2×7×11.

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