Sujet maths Bac Série D PDF 2013

Sujet maths Bac Série D PDF avec correction 2013
 
Durée de l’épreuve 4h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème 
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit: 
* Nombres complexes (4 points )
* Suite Numérique (4.5 points )
* Etude d’une fonction numérique (11.5 points )
 
 * Nombres complexes  (4 points )
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O, I, J),
on désigne par K, A et B les points d’affixes respectives
\(z_{1}=2, z_{2}=4+2 i\) et \(z_{3}=2+4 i .\) L’unité graphique est \(2 cm\)
1- a) Placer les points K,A et B.
b) Déterminer la forme algébrique du nombre complexe:
\(\frac{z_{3}-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}\)
2- On note S la similitude directe de centre K qui transforme A en B.
a) Démontrer que:
l’écriture complexe de S est : \(z ‘=(1+i) z-2 i\)
b) Déterminer les affixes respectives des points I’ et J’
 images respectives des points I et J puis placer I’ et J’.
3- Déterminer:
 le rapport et une mesure de l’angle orienté de la similitude directe S.
4- Soit (C) le cercle de centre \(Ω(1;1)\) et de rayon 2
a) Tracer (C).
b) Déterminer le centre et le rayon de (C’), image de (C) par S.
c)Construire \(( C ‘)\)
5-a) Déterminer puis construire I’image par \(S\) de la droite (IJ).
On pourra caractériser l’image par S de la droite (IJ) par deux de ses points.
b) On désigne par E le point d’intersection de (C)
et la droite (IJ) d’abscisse négative.
Placer E et l’image E ‘ de E par \(S\).
Justifier la position du point E ‘
 
 * Suite Numérique   (4.5 points )
On considère la suite numérique \((u)\) définie par:
\(u_{0}=\sqrt{2}\) et ∀ n∊IN:  \(n, u_{n+1}=2+\frac{1}{2} u_{n}\)
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).
L’unité graphique est 2 cm.
1- Déterminer les valeurs exactes de \(u_{1}\) et \(u_{2}\)
2- Soit \(f\) la fonction définie par:
 \(f(x)=\frac{1}{2} x+2\) et de représentation graphique (D).
a) Tracer (D) et la droite ( \(Δ\) ) d’équation \(y=x\)
b) Placer \(u_{0}\) sur l’axe (OI).
c) A l’aide de (D) et \((Δ),\)
placer les termes \(u_{1}, u_{2}\) et \(u_{3}\) de la suite \((u)\) sur l’axe (OI).
3- a) Démontrer par récurrence que ∀ n∊IN: \(n, u_{n} ≤ 4\)
b) Démonter que la suite \((u)\) est croissante.
c) En déduire que la suite \((u)\) est convergente.
4. On considère la suite ( \(v\) ) définie par:
∀ n∊IN : \(v_{n}=u_{n}-4\)
Démontrer que la suite ( \(v\) ) est une suite géométrique
dont on précisera le premier terme et la raison
5- On pose, pour tout nombre entier naturel n :
\(T _{n}=v_{0}+v_{1}+…+v_{n}\)
la somme des \(n+1\) premiers termes de la suite \((v)\)
\(S _{n}=u_{0}+u_{1}+…+u_{n}\)
la somme des \(n+1\) premiers termes de la suite \((u)\)
a) Déterminer une expression de \(T _{n}\) en fonction de \(n\)
b) Justifier que: \(S _{n}=2(\sqrt{2}-4)(1-\frac{1}{2^{n+1}})+4(n+1)\)
c)Déterminer la limite de \(S_{n}\)
 
 * Etude d’une fonction numérique    (11.5 points )
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).
L’unité graphique est 2 cm.
On considère la fonction \(f\) dérivable et définie sur ]-∞ ; 1[ par:
f(x)=x²-1+ln(1-x)
 On note (C) la courbe représentative de \(f\)
1- a) Calculer: lim_{x ⟶-∞} \(f(x)\)
b)Calculer: \(\lim _{x ⟶-∞} \frac{f(x)}{x}\)
puis donner une interprétation graphique du résultat.
c)Calculer la limite de \(f\) à gauche en 1
puis donner une interprétation graphique du résultat.
2- a) Pour tout nombre réel  x de l’intervalle ]-∞ ;1[ calculer  f  ‘(x).
b) Démontrer que \(f\) est strictement décroissante sur ]-∞;1[
c) Dresser le tableau de variation de \(f\)
3- a) Démontrer que l’équation (E):
x∊]-∞;1 [, f(x)=0  admet une solution unique α.
b) Justifier que -0,7<α<-0,6
4- a) Démontrer qu’une équation de la tangente (T) à (C)
 au point d’abscisse 0 est: y=-x-1
b) On donne le tableau de valeurs suivant:
x-2-1.5-1-0.75-0.5-0.250.250.50.75
Arrondi d’ordre I de f(x)4.12.20.70.1-0.3-0.7-1.2-1.4-1.8
Tracer (T) et (C).
On pourra faire la figure dans la partie du plan caractérisée par:
 \(\{\begin{array}{l}-3 ≤ x ≤ 5 \\ -4 ≤ y ≤ 6\end{array}.\)
5- On designe par \(A\):
 l’aire de la partie du plan délimitée par (C), la droite (OI)
et les droites d’équations respectives x= α et x=0
a) Calculer:
 \(\int_{α}^{0}ln(1-x) dx\) à l’aide d’une intégration par parties.
b) Démontrer que la valeur de \(A\) en unités d’airé est:
 \(A =\frac{α^{3}}{3}-2α-(1-α) ln (1-α)\)
c) Déterminer en cm²:
 l’arrondi d’ordre 2 de la valeur de \(A\) pour \(\alpha=-0,65\)
6- Soit \(f^{-1}\) la bijection réciproque de \(f\)
et (C’) la courbe représentative de \(f^{-1}\) dans le plan muni du repère ( O, I, J)
a) Calculer \(f(-1)\)
b) Démontrer que:
le nombre dérivé de \(f^{-1}\) en ln2 existe puis le calculer.
c) Construire la courbe (C’)
et sa tangente ( \(Δ\) ) au point d’abscisse \(\ln 2\) sur la figure de la question \(4-b\) ).
 
 
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