Partie B
On considère la fonction \(f\) dérivable sur IR et définie par :
\(f (x)=xe ^{1-x}-x+2\)
On note (C) sa courbe représentative dans le plan
muni d’un repère orthonormé (O, \(1, J\) ).
L’unité graphique est 2cm
1. Déterminer les limites de \(f\) en \(+∞\) et \(en -∞\).
2.a. Démontrer que \(f\) est une primitive de \(g\).
b. Etudier les variations de \(f\) et dresser son tableau de variation.
3. a. Démontrer que:
la droite (D) d’équation y=-x+2 est une asymptote oblique à (C) en \(+∞\)
b. Étudier la position relative de (D) et (C).
4. Démontrer que (C) admet en – œ une branche parabolique de direction (OJ).
5. Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 1.
6. Démontrer que \(f(α)=1-α+\frac{1}{1-α}\)
7. Justifier que, pour tout nombre réel x \(f(-x+2)=e^{x-1} f(x)\)
\(8 .\) On admet que l’équation \(f( x )=0\) admet exactement deux solutions.
On appelle β l’une de solutions. Démontrer quc (-β+2) est l’autre solution.
9. Tracer (D), (T), et (C).
(On prendra \(α=0,4\) et \(\beta=2,5\) ).
Partie C
Soit λ un nombre réel strictement positif
et (A(λ)l’aire en cm² de la partie du plan délimitée par (C),
la droite (D) d’équation y=-x+2 et les droites d’équation x=0 et x=λ
1. Calculer \(A(\lambda)\) à l’aide d’une intégration par parties.
2. Déterminer la limite A(λ) lorsque λ tend vers +∞.