Sujet maths Bac Série C PDF 2019
Exercice 1
L’unité de longueur est le centimètre.
Dans le plan orienté, on considère un carré ABCD de centre K
tel que AB \(=3\). On note \(E\) le milieu du segment \([ BC ]\)
et \(G\) le barycentre des points pondérés \(( A , 4),( B ,-1)\) et \(( D ,-1)\)
1. a) Démontre que A est le milieu du segment [KG].
b) Justifie que: \(GB ^{2}=\frac{45}{2}\)
c) Justifie que: \(GB = GD\)
d) Détermine et construis:
l’ensemble \(\left(\Gamma_{1}\right)\) des points \(M\) du plan tels que :
\(4 MA ^{2}- MB ^{2}- MD ^{2}=9\)
2. \(a\) ) Justifie que: \(A E=\frac{3 \sqrt{5}}{2}\)
b) Démontre que pour tout point \(M\) du plan:
\(3 MA ^{2}-2 MB ^{2}- MD ^{2}=-27+4 \overrightarrow{ AM } \cdot \overrightarrow{ AE }\)
c) Détermine et construis:
l’ensemble ( \(\Gamma_{2}\) ) des points M du plan tels que:
\(3 MA ^{2}-2 MB ^{2}- MD ^{2}=63\) Exercice 2
On considère un entier naturel \(m\) dont 1 ‘ecriture dans le système décimal est \(\overline{a b c}\).
1. a) Démontre que A est le milieu du segment [KG].
b) Justifie que: \(GB ^{2}=\frac{45}{2}\)
c) Justifie que: \(GB = GD\)
d) Détermine et construis:
l’ensemble \(\left(\Gamma_{1}\right)\) des points \(M\) du plan tels que :
\(4 MA ^{2}- MB ^{2}- MD ^{2}=9\)
2. \(a\) ) Justifie que: \(A E=\frac{3 \sqrt{5}}{2}\)
b) Démontre que pour tout point \(M\) du plan:
\(3 MA ^{2}-2 MB ^{2}- MD ^{2}=-27+4 \overrightarrow{ AM } \cdot \overrightarrow{ AE }\)
c) Détermine et construis:
l’ensemble ( \(\Gamma_{2}\) ) des points M du plan tels que:
\(3 MA ^{2}-2 MB ^{2}- MD ^{2}=63\) Exercice 2
On considère un entier naturel \(m\) dont 1 ‘ecriture dans le système décimal est \(\overline{a b c}\).
(On rappelle que: \(m=10^{2} a+10 b+c)\)
Partie A
1. Écris l’entier naturel \(m\) en base 2 dans le cas où:
1. Écris l’entier naturel \(m\) en base 2 dans le cas où:
\(a=1 ; b=2\) et \(c=1\)
2. On suppose que: \(m \equiv 0[27]\)
i) Démontre que:
2. On suppose que: \(m \equiv 0[27]\)
i) Démontre que:
\(10^{3} a+10 \overline{b c} \equiv 0[27]\)
ii) Déduis-en que:
ii) Déduis-en que:
\(10 \overline{b c}+a \equiv 0[27]\)
iii) Justifie alors que:
iii) Justifie alors que:
l’entier \(\overline{b c a}\) est divisible par 27
Partie B
Dans cette partie on suppose que: \(a>c\)
On pose : \(p=\overline{c b a} ; u=a-c\) et \(d=m-p\)
1. Justifie que: \(d=99 u\)
2. Déduis de la question précédente que:
2. Déduis de la question précédente que:
l’entier naturel \(d\) ne peut être le carré d’un entier naturel.
3. On suppose que: \(b=a+c\)
i) Justifie que: \(m=11(10 a+c)\)
ii) Déduis-en que:
3. On suppose que: \(b=a+c\)
i) Justifie que: \(m=11(10 a+c)\)
ii) Déduis-en que:
\(m\) et \(d\) ne sont pas premiers entre eux.
4. On suppose que: \(a=b+c\)
i) Justifie que: \(d=3^{2} \times 11 b\)
ii) Justifie que: \(m=110 b+101 c\)
iii) Démontre que:
4. On suppose que: \(a=b+c\)
i) Justifie que: \(d=3^{2} \times 11 b\)
ii) Justifie que: \(m=110 b+101 c\)
iii) Démontre que:
les entiers naturels \(m\) qui sont premiers avec \(d\)
sont ceux qui vérifient à la fois: \(b \neq 0\) \(c \neq 0, b+c\)
n’est pas divisible par \(3 ; b\) et \(c\) sont premiers entre eux.
iv) Déduis des questions précédentes:
iv) Déduis des questions précédentes:
tous les entiers naturels \(m\) premiers avec \(d\)
Problème
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).
L’unité graphique est le centimètre.
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on considère les fonctions:
\(f_{n}\) et \(F _{n}\) continues sur \(R\) et définies par:
\(f_{n}(x)=\frac{x^{2 n}}{\sqrt{1+x^{2}}}\) et \(F_{n}(x)=\int_{0}^{x} \frac{t^{2 n}}{\sqrt{1+t^{2}}} d t\)
On note \(\left(\mathscr{C}_{n}\right)\) la courbe représentative de la fonction \(F _{n}\)
\(f_{n}(x)=\frac{x^{2 n}}{\sqrt{1+x^{2}}}\) et \(F_{n}(x)=\int_{0}^{x} \frac{t^{2 n}}{\sqrt{1+t^{2}}} d t\)
On note \(\left(\mathscr{C}_{n}\right)\) la courbe représentative de la fonction \(F _{n}\)
dans le repère \(( O , I , J )\)
On se propose dans ce problème de donner,
pour tout entier naturel \(n\) non nul,
1’allure de la courbe \(\left(\mathscr{C}_{n}\right)\).
Partie A
On considère la fonction \(f\) définie sur \(R\) par: \(f(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^{2}})\)
On désigne par \(\left(\mathscr{C}\right)\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans le plan muni du repère (O, I, J).
1. Démontre que \(f\) est une fonction impaire.
2. a) Calcule:
2. a) Calcule:
la limite de \(f(x)\) puis celle de \(\frac{f(x)}{x}\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\)
b) Donne une interprétation graphique des résultats de la question précédente.
3. On admet que \(f\) est dérivable sur \(R\).
a) Justifie que:
3. On admet que \(f\) est dérivable sur \(R\).
a) Justifie que:
\(\forall x \in R , f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\)
b) Détermine le sens de variation de \(f\) sur \([0 ;+\infty[\)
c) Dresse le tableau de variation de \(f\) sur \([0 ;+\infty[\)
4. Détermine une équation de la tangente \((\Delta)\) à \((\mathscr{E})\) au point \(d\) ‘abscisse 0 .
5. On note \(g\) la fonction derivable sur \(R\) et définie par:
\(g(x)=-x+\ln (x+\sqrt{1+x^{2}})\)
a) Détermine le sens de variation de \(g\) sur \(R\).
6. Construis la courbe ( \(\mathscr{E}\) )
b) Détermine le sens de variation de \(f\) sur \([0 ;+\infty[\)
c) Dresse le tableau de variation de \(f\) sur \([0 ;+\infty[\)
4. Détermine une équation de la tangente \((\Delta)\) à \((\mathscr{E})\) au point \(d\) ‘abscisse 0 .
5. On note \(g\) la fonction derivable sur \(R\) et définie par:
\(g(x)=-x+\ln (x+\sqrt{1+x^{2}})\)
a) Détermine le sens de variation de \(g\) sur \(R\).
6. Construis la courbe ( \(\mathscr{E}\) )
et la droite \((\Delta)\) dans le plan muni du repère (O, I, J).
7. On note \(A\) l’aire en cm² de la partie du plan limitée par la courbe ( \(\mathscr{C}\) ),
7. On note \(A\) l’aire en cm² de la partie du plan limitée par la courbe ( \(\mathscr{C}\) ),
la droite (OI) et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=1\)
Calculer \(A\) à l’aide d’une intégration par parties.
Partie B
1. a) Justifie que \(F_{n}\) est définie sur \(R\)
b) Démontre que \(F_{n}\) est une fonction impaire.
\(c\) ) Étudie le sens de variation de \(F _{n} \operatorname{sur}[0 ;+\infty]\)
2. Soit \(\left( I _{n}\right)\) la suite numérique définie par:
\((I _{0}=\ln (1+\sqrt{2}) et \forall n \in N ^{*}, I _{n}=\int_{0}^{1} \frac{t^{2 n}}{\sqrt{1+t^{2}}} dt\)
a) Démontre que: \(\forall n \in N , I _{n} \geqslant 0\)
b) Démontre que:
1. a) Justifie que \(F_{n}\) est définie sur \(R\)
b) Démontre que \(F_{n}\) est une fonction impaire.
\(c\) ) Étudie le sens de variation de \(F _{n} \operatorname{sur}[0 ;+\infty]\)
2. Soit \(\left( I _{n}\right)\) la suite numérique définie par:
\((I _{0}=\ln (1+\sqrt{2}) et \forall n \in N ^{*}, I _{n}=\int_{0}^{1} \frac{t^{2 n}}{\sqrt{1+t^{2}}} dt\)
a) Démontre que: \(\forall n \in N , I _{n} \geqslant 0\)
b) Démontre que:
la suite \(\left( I _{n}\right)\) est décroissante.
\(c)\) Démontre que:
\(c)\) Démontre que:
la suite \(\left(I_{n}\right)\) est convergente.
(On ne demande pas de calculer la limite de \(\left(I_{n}\right)\)
\(d\) ) Vérifie que:
(On ne demande pas de calculer la limite de \(\left(I_{n}\right)\)
\(d\) ) Vérifie que:
pour tout entier naturel \(n\) non nul et pour tout nombre réel \(t\) positif, on a :
\(t^{2 n} \sqrt{1+t^{2}}=\frac{t^{2 n}}{\sqrt{1+t^{2}}}+\frac{t^{2 n+2}}{\sqrt{1+t^{2}}}\)
e) A l’aide d’une intégration par parties, justifie que:
\(\forall n \in N ^{*}, \quad I _{n+1}=\frac{\sqrt{2}}{2 n+2}-\frac{2 n+1}{2 n+2} I _{n}\)
On remarquera que pour tout nombre réel \(t, \frac{t^{2 n+2}}{\sqrt{1+t^{2}}}=t^{2 n+1} \times \frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\)
On admettra que:
\(t^{2 n} \sqrt{1+t^{2}}=\frac{t^{2 n}}{\sqrt{1+t^{2}}}+\frac{t^{2 n+2}}{\sqrt{1+t^{2}}}\)
e) A l’aide d’une intégration par parties, justifie que:
\(\forall n \in N ^{*}, \quad I _{n+1}=\frac{\sqrt{2}}{2 n+2}-\frac{2 n+1}{2 n+2} I _{n}\)
On remarquera que pour tout nombre réel \(t, \frac{t^{2 n+2}}{\sqrt{1+t^{2}}}=t^{2 n+1} \times \frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\)
On admettra que:
\(I _{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2} I _{0}\)
f) Calcule: \(I_{1}\) et \(I_{2}\)
3.a) Démontre que:
3.a) Démontre que:
\(\forall x \in R , F _{n}(x)= I _{n}+\int_{1}^{x} \frac{t^{2 n}}{\sqrt{1+t^{2}}} d t\)
b) Démontre que:
\(\begin{array}{l}
\forall t \geq 1 . \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{t} \leq \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} \\
\forall n \in N ^{*} \text { et } \forall x \geq 1, \frac{1}{2 \sqrt{2}} \times \frac{1}{n}\left(x^{2 n}-1\right) \leq \int_{1}^{x} \frac{t^{2 n}}{\sqrt{1+t^{2}}} d t
\end{array}\)
c ) Déduis-en la limite de \(F_{n}(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\)
d) Démontre que:
b) Démontre que:
\(\begin{array}{l}
\forall t \geq 1 . \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{t} \leq \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} \\
\forall n \in N ^{*} \text { et } \forall x \geq 1, \frac{1}{2 \sqrt{2}} \times \frac{1}{n}\left(x^{2 n}-1\right) \leq \int_{1}^{x} \frac{t^{2 n}}{\sqrt{1+t^{2}}} d t
\end{array}\)
c ) Déduis-en la limite de \(F_{n}(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\)
d) Démontre que:
pour tout entier naturel non nul \(n,\left(\mathscr{C}_{n}\right)\) admet une branche parabolique de direction celle de la droite (OJ) en +∞.
e) Construis:
la courbe \(\left(\mathscr{C}_{2}\right)\) dans le plan muni du repère \(( O , I , J )\)
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Sujet maths Bac Série C 2019