Examen Bac 2 SM PDF Math 2016 Normal Avec Correction

Examen Bac 2 SM  PDF Math  2016 Normal Avec Correction
Durée de l’épreuve 4h L’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:  * Structures Algébriques (3.5 points ) * Nombres complexes (3.5 points ) * Arithmétique (3 points ) * Analyse 1  (7 points )
* Analyse 2  (3 points )
 
Structures Algébriques (3.5 points )
On rappelle que \((\mathbf{C},+, \mathbf{x})\) est un corps commutatif 
et \(\left(\mathbf{M}_{3}(\mathbf{I R}),+, \mathbf{x}\right)\) est un anneau unitaire non commutatif et non intègre dont le zéro est la matrice nulle 0 et dont l’unité est la matrice identique \(\mathbf{I}\) 
et que \(\left(\mathbf{M}_{3}(\mathbf{I} \mathbf{R}),+, \cdot\right)\) est un espace vectoriel réel. 
On pose \(\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{array}\right)\) 
 
et \(\mathbf{M}(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\left(\begin{array}{ccc}\mathbf{x}+\mathbf{y} & \mathbf{0} & -\mathbf{2 y} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{y} & \mathbf{0} & \mathbf{x}-\mathbf{y}\end{array}\right)\) 
 
et pour tout couple \((\mathbf{x}, \mathbf{y}) \in \mathbf{I R}^{2}\) On considère l’ensemble \(\mathbf{E}=\left\{\mathbf{M}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) /(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \in \mathbf{I} \mathbf{R}^{2}\right\}\) 1) Montrer que:
 \(\mathbf{E}\) est un sous-groupe de \(\left(\mathbf{M}_{3}(\mathbf{I R}),+\right)\) 2) Vérifier que: \(\left(\forall(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \in \mathbf{I} \mathbf{R}^{2}\right)\left(\forall\left(\mathbf{x}^{\prime}, \mathbf{y}^{\prime}\right) \in \mathbf{I} \mathbf{R}^{2}\right) ; \quad \mathbf{M}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \operatorname{T} \mathbf{M}\left(\mathbf{x}^{\prime}, \mathbf{y}^{\prime}\right)=\mathbf{M}\left(\mathbf{x} \mathbf{x}^{\prime}-\mathbf{y} \mathbf{y}^{\prime}, \mathbf{x} \mathbf{y}^{\prime}+\mathbf{y} \mathbf{x}^{\prime}\right)\) 3) On considère l’application \(\varphi\) de \(\mathbf{C}^{*}\) vers \(\mathbf{E}\) définie par: \(\left(\forall(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \in \mathbf{I} \mathbf{R}^{2}\right) \quad ; \quad \varphi(\mathbf{x}+\mathbf{i y})=\mathbf{M}(\mathbf{x}, \mathbf{y})\) et On pose \(\mathbf{E}^{*}=\mathbf{E}-\{\mathbf{M}(\mathbf{0}, \mathbf{0})\}\) a) Montrer que:
\(\varphi\) est un homomorphisme de \(\left(\mathbf{C}^{*}, \times\right)\) vers \((\mathbf{E}, x)\) b) En déduire que:
\(\left(\mathbf{E}^{*}, \mathbf{x}\right)\) est un groupe commutatif dont on deéterminera l’élément neutre \(\mathbf{J}\) 4) Montrer que:
\((\mathbf{E},+, \mathbf{x})\) est un corps commutatif. 5) a) Calculer:
\(\mathbf{A} \times \mathbf{M}(\mathbf{x}, \mathbf{y})\) pour tout \(\mathbf{M}(\mathbf{x}, \mathbf{y})\) de \(\mathbf{E}\) b) En déduire que:
tout élément de \(\mathbf{E}\) n’admet pas de symétrique dans \(\left(\mathbf{M}_{3}(\mathbf{I R}), \times\right)\)
 
 * Arithmétique    (3 points )
 Soit \((a, b)\) dans IN*×IN* tel que le nombre premier 173 divise \(a^{3}+b^{3}\)
1- Montrer que : \(a^{171} \equiv-b^{171}[173]\) (remarquer que : \(171=3 \times 57\) )
2- Montrer que : 173 divise \(a\) si et seulement si 173 divise \(b\)
3- On suppose que 173 divise \(a\). Montrer que 173 divise \(a+b\)
4- On suppose que 173 ne divise pas \(a\)
a) En utilisant le théorème de FERMAT, montrer que : \(a^{172} \equiv b^{172}[173]\)
b) Montrer que : \(a^{171}(a+b) \equiv 0[173]\)
c) En déduire que 173 divise \(a+b\)
On considère dans IN*×IN* l’équation suivante :
\((E) x^{3}+y^{3}=173(x y+1)\)
Soit \((x, y)\) un élément de IN*×IN* solution de \((E),\) 
on pose \(: x+y=173 k\) avec \(k∊IN*\)
1- Vérifier que : \(k(x-y)^{2}+(k-1) x y=1\)
2- Montrer que \(k=1\) puis résoudre l’équation \((E)\)
 
 * Nombres complexes    (3.5 points )
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\) On considère dans le plan complexe deux points \(M_{1}\) et \(M_{2}\) tels que les points \(O, M_{1}\) et \(M_{2}\) sont distincts deux à deux et non alignés. Soient \(z_{1}\) et \(z_{2}\) les affixes respectives des points \(M_{1}\) et \(M_{2}\) et soit \(M\) le point dont l’affixe \(z\) vérifie la relation : \(\quad z=\frac{2 z_{1} z_{2}}{z_{1}+z_{2}}\)
1-a) Montrer que : \(\quad \frac{z_{1}-z}{z_{2}-z} \times \frac{z_{2}}{z_{1}}=-1\)
b) En déduire que le point \(M\) appartient au cercle circonscrit au triangle \(O M_{1} M_{2}\)
2- Montrer que si \(z_{2}=\overline{z_{1}}\) alors \(M\) appartient à Yaxe des réels.
3- On suppose que \(M_{2}\) est l’image de \(M_{1}\) par la rotation de centre \(O\) et de mesure d’angle \(\alpha\) où \(\alpha \text { est un réel de l’intervalle }] 0, \pi[\)
a) Calculer \(z_{2}\) en fonction de \(z_{1}\) et de \(\alpha\)
b) Montrer que le point \(M\) appartient à la médiatrice du segment \(\left[M_{1} M_{2}\right]\)
4- Soit \(\theta \text { un réel donné de l’intervalle }] 0, \pi[\) On suppose que \(z_{1}\) et \(z_{2}\) sont les deux solutions de l’équation : \(6 t^{2}-\left(e^{i \theta}+1\right) t+\left(e^{i \theta}-1\right)=0\)
a) Sans calculer \(z_{1}\) et \(z_{2}\) vérifier que : \(z=2 \frac{e^{i \theta}-1}{e^{i \theta}+1}\)
b) Donner en fonction de \(q\), la forme trigonométrique du nombre complexe \(z\)
 
 * Analyse 1    (7 points )
1- En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction \(t \mapsto e^{-t},\) montrer que pour tout réel strictement positif \(x\), il existe un réel \(\theta\) compris entre 0 et \(x\) tel que : \(e^{\theta}=\frac{x}{1-e^{-x}}\)
2- En déduire que:
a) \(∀ x>0: \quad 1-x<e^{-x}\)
b) \(∀ x>0: \quad x+1<e^{x}\)
\(∀ x>0: \quad 0<\ln \left(\frac{x e^{x}}{e^{x}-1}\right)<x\)
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \([0,+\infty[ \text { par: }\)
\(f(x)=\frac{x e^{x}}{e^{x}-1} \quad \text { si } x>0 \text { et } f(0)=1\)
et soit \((C)\) la courbe représentative de \(f\) dans le plan muni d’un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\)
1-a) Montrer que la fonction \(f\) est continue à droite en 0
b) Montrer que : \(\lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-x)=0\) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2-a) Montrer que : ( ∀ x≥3 )  \(\quad x-\frac{x^{2}}{2} £-e^{-x}+1\)
(On pourra utiliser le résultat de la question 2-a) de la première partie)
b) En déduire que ∀ x≥0: 
 \( \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{6}≤e^{-x}+x-1\frac{x^{2}}{2}\)
3-a) Vérifier que : \((∀ x>0) \quad \frac{f(x)-1}{x}=\frac{e^{-x}+x-1}{x^{2}} f(x)\)
b) En déduire que \(: \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-1}{x}=\frac{1}{2}\) puis interpréter le résultat obtenu.
4-a) Montrer que \(f \text { est dérivable en tout point de }] 0,+\infty[\) et que :
\((∀ x>0) \quad f^{\prime}(x)=\frac{e^{x}\left(e^{x}-1-x\right)}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}\)
b) En déduire que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\)
(On pourra utiliser le résultat de la question 2 -b) de la première partie) Troisième partie :
On considère la suite numérique \(\left(u_{n}\right)_{n \geq 0}\) définie par \(: u_{0}>0\) et \(u_{n+1}=\ln \left(f\left(u_{n}\right)\right)\) pour \(n \dot{\subset} ¥\)
a) Montrer que pour tout entier naturel \(n\) on \(a: u_{n}>0\)
b) Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geq 0}\) est strictement décroissante et en déduire qu’elle est convergente.
(On pourra utiliser le résultat de la question 2 -c) de la première partie)
c) Montrer que 0 est l’unique solution de l’équation : \(\ln (f(x))=x\) puis déterminer la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geq 0}\)
 
 * Analyse 2     (3 points )
On considère la fonction numérique \(F \text { définie sur } 1 \text { ‘intervalle } I=] 0,+\infty[\) par:
\(F(x)=\int_{\ln 2}^{x} \frac{1}{\sqrt{e^{t}-1}} d t\)
1-a) Etudier le signe de \(F(x)\) pour tout \(x\) de \(I\)
b) Montrer que la fonction \(F\) est dérivable sur l’intervalle \(I\) et calculer \(F^{\prime}(x)\) pour tout \(x\) de \(I\).
c) Montrer que la fonction \(F\) est strictement croissante sur l’intervalle \(I\)
2-a) En utilisant la technique de changement de variable en posant \(: u=\sqrt{e^{t}-1},\) montrer que pour tout \(x \operatorname{de} I\) on a : \(\int_{\ln 2}^{x} \frac{1}{\sqrt{e^{t}-1}} d t=2 \arctan \sqrt{e^{x}-1}-\frac{\pi}{2}\)
b) Calculer \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} F(x)\) et \(\lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)\)
3-a) Montrer que la fonction \(F\) est une bijection de l’intervalle \(I\) dans un intervalle \(J\) que l’on déterminera.
b) Déterminer \(F^{-1}\) la bijection réciproque de \(F\)
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