Examen Bac 2 PDF 2020 Math Préparation 19 Avec Correction

Examen Bac 2 PDF 2020 Math Préparation 19
Avec Correction
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème 
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit: 
* Etude d’une fonction numérique
* Suite Numérique
* Nombres complexes
 
 * Etude d’une fonction numérique 
Partie I
On considère la fonction \(f\) définie par: \(f(x)=\sqrt{1+ e ^{-x}}-x\) 
On note \((C_{f})\) sa courbe représentative dans le repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\)
d’unité 1cm.
1 Montrer que l’ensemble de définition de \(f\) est IR
2) a) Calculer \(\lim _{x➝-∞} f(x)\) et \(\lim _{x➝-∞} \frac{f(x)}{x}\)
b En déduire que:
 la courbe \((C_{f})\) présente une branche parabolique au voisinage -∞ 
dont on précisera la direction.
3- a) Calculer \(\lim _{x➝+∞} f(x),\) 
puis montrer que la droite (D) d’équation \(y=-x+1\) est une asymptote 
à la courbe (C) au voisinage +∞.
b Etudier la position relative de la courbe \((C_{f})\) par rapport la droite (D)
4 Montrer que:
 pour tout x de IR: \(f ‘(x)=-(1+\frac{e^{-x}}{2 \sqrt{1+e^{-x}}})\)
b Montrer que \(f\) est strictement décroissante sur IR.
c Établir le tableau de variations de \(f\) sur IR.
5. Montrer que:
l’équation \(f(x)=0\) admet une seule solution α tel que 1<α<\ln (4)
6 Construire la courbe \((C_{f})\) et la droite ( \(D\) ) dans le repère \((O, \vec{i}, j)\)
7 a Montrer que: la fonction \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) 
de IR vers un intervalle \(J\) à déterminer.
b Déterminer le sens de variations de \(f^{-1}\) sur \(J\)
Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable en \(\sqrt{2}\) 
et que \((f^{-1}) ‘(\sqrt{2})=-\frac{\sqrt{8}}{1+\sqrt{8}}\) 
(Remarque que \(f(0)=\sqrt{2})\)
d) Tracer, dans le même repère, la courbe représentative de \(f^{-1}\).
 
Partie II
On considère la fonction \(g\) définie sur IR par :
 \( g(x)= e ^{-x} × f(x)\) 
Et soit \((C_{g})\) la courbe représentative de \(g\) dans le repère 
\((O, \vec{i}, \vec{j})\)
1) Montrer que pour \(x\) de \([0 ; 1]: ⇔ g(x)>0\)
2) En utilisant une intégration par parties, montrer que :
 \(\int_{0}^{1} x e ^{-x} d x=1-\frac{2}{ e }\)
3) Calculer en cm ^{2} l’aire du domaine délimité par la courbe \(( C _{g})\) 
les deux axes du repère et la droite d’équation x=1.
 
 
 * Suite Numérique 
On considère la suite \((u_{n})\) définie par: \(u_{0}=1\)
 et \(u_{n+1}=\frac{u_{n}-6}{u_{n}-4}\) pour tout n de IN*
1 Montrer que pour tout n de IN: \(1 ≤ u_{n}<2\)
2 Montrer que la suite \((u_{n})\) est croissante. 
En déduire que \((u_{n})\) est convergente.
3 On pose pour tout n de IN: \(v_{n}=\frac{u_{n}-3}{u_{n}-2}\)
a Montrer que:
la suite \((v_{n})\) est géométrique dont on précisera la raison.
b En déduire: l’expression de \(v_{n}\) en fonction de n 
et que  pour tout n de IN:
\(u_{n}=\frac{2^{n+2}-3}{2^{n+1}-1}\)
4 Déterminer la limite de la suite \((u_{n})\)
 
 * Nombres complexes 
1 Résoudre dans ℂ l’équation suivante: \(z^{2}-2 z+4=0\)
2 On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, 
les points A, B et C d’affixes respectives:
\(a=4\); \(b=1-i \sqrt{3}\) et \(c=\bar{b}\)
a Écrire chacun des nombres \(b\) et \(c\) sous forme trigonométrique
b Montrer que \(\frac{b-a}{c-a}= e ^{i \frac{n}{3}}\)
c Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
3 Soit z l’affixe d’un point M
et z ‘ l’affixe du M ‘l’image de M
par la rotation IR de centre A et d’angle \(-\frac{\pi}{3}\)
a Montrer que \(z ‘=4+(\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2})(z-4)\)
b Montrer que :
le point \(D\) d’affixe \(d=4+i 2 \sqrt{3}\) est l’image de \(C\) par la rotation IR
4 Montrer que ABCD est un losange.
 
 
 
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Examen Bac 2  2020 Math 19

Correction Bac 2  2020 Math 19

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