* Calcul Intégrale (2 points )
On considère les deux intégrales suivantes:
\(I=\int_{0}^{\ln (2)} \frac{3 c^{x}+2}{e^{x}+1} dx \) et \(J=\int_{0}^{\ln (2)} \frac{e^{2 x}+3 e^{x}+1}{e^{x}+1} dx\)
1. a) Vérifier que: \(I-J=∊t_{0}^{\ln (2)} 1-e^{x} d x\)
b) Déduire que: \(I-J=\ln (2)-1\)
2. Vérifier que:
\((∀ x ∊R ) \frac{e^{2 x}+3 e^{x}+1}{e^{x}+1}=e^{x}+1+\frac{e^{x}}{e^{x}+1}\)
3. Montrer que:
\(J=1+\ln (3)\) et en déduire la valeur de \(I\).
* Etude d’une fonction numérique (10 points )
Partie I: fonction auxiliaire
On considère la fonction \(g\) définie sur \(IR\) par:
\(g(x)=e^{x}-1+x\)
1. Étudier le signe de \(.e^{x}-1\) sur les deux intervalles]-∞, 0] et [0 ;+∞[
2. Montrer que ∀ x ∊]-∞,0]: g(x) ≤ 0 et que ∀ x ∊[0 ;+∞[ g(x)≥ 0
Partie II:
On considère la fonction \(f\) définie sur \(R\) par:
\(f(x)=\frac{1-e^{x}+x e^{x}}{e^{x}+1}\)
\((C_{f})\) sa courbe dans un repère orthonormé \((o, \vec{i}, \vec{j})\)
tel que: \((\| \vec{i}|=||\vec{j}| |=1 c m)\)
1. Montrer que:
\(\lim _{x➝-∞} f(x)=1\) puis interpréter graphiquement le résultat.
2. a) Vérifier que:
\((∀ x ∊R ) \quad f(x)=\frac{x+e^{-x}-1}{e^{-x}+1}\)
b) Calculer \(\lim _{x➝+∞} f(x)\)
3. Soit \((Δ)\) la droite d’équation \(y=x-1\)
a) Vérifier que: \((∀ x ∊R ) f(x)-y=\frac{(2-x) e^{-x}}{e^{-x}+1}\)
b) Montrer que:
\((Δ)\) est une asymptote oblique a \((C_{f})\) au voisinage de \(+∞\)
c) Déterminer les coordonnées du point d’intersection de \((C_{f})\) et \((Δ)\)
d) Montrer que:
\((C_{f})\) est au dessous de \((Δ)\) sur 1 ‘intervalle ]2,+∞[
et au dessus de \((Δ)\) sur l’intervalle ]-∞, 2[.
4.a) Montrer que:
\((∀ x ∊R ) f ‘(x)=\frac{e^{x} g(x)}{(e^{x}+1)^{2}}\)
b) Montrer que:
\(f\) est croissante sur l’intervalle [0,+∞[ et décroissante sur l’intervalle ]-∞, 0[
c) Donner le tableau de variation de la fonction \(f\)
5. Soit \((D)\) la droite d’équation \(y=x\).
a) Vérifier que: \((∀ x ∊R ) x-f(x)=\frac{g(x)}{e^{x}+1}\)
b) Montrer que:
\((C_{f})\) est au dessous de la droite \((D)\) sur l’intervalle [0,+∞[
6. a) Montrer que:
la fonction \(f\) admet sur l’intervalle [0,+∞[ une fonction réciproque \(f^{-1}\)
définie sur un intervalle \(J\) que l’on détermine.
b) Montrer que: \((f^{-1}) ‘ (1)=1+\frac{1}{e^{2}}\)
7. Construire \((C_{f}),(C_{f^{-1}})\) et les deux droites \((Δ)\) et \((D)\)
dans le reπre \((o, \vec{i}, \vec{j})\)