Examen Bac 2 2020 Math Préparation 10

Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 10
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème 
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit: 
* Suite Numérique (3 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Fonction logarithmique et exponentielle  (3 points )
* Etude d’une fonction numérique (11 points )
 
 * Suite Numérique   (3 points )
On considère la suite \(u_{n}\) 
définie par: \(u_{0}=0\) et \( u_{n+1}=\frac{u_{n}-1}{u_{n}+3} : ∀n∈N \)
1) Calculer les termes \(u_{1}\) et \(u_{2}\)
2) a) Vérifier que : \(u_{n+1}=1-\frac{4}{u_{n}+3}\) ∀n∈N
b) Montrer par récurrence que: ∀n∈N : \(-1≤u_{n}≤0\)
3) Montrer que:
la suite \(u_{n}\) est décroissante et en déduire qu’elle est convergente.
4) Soit \(v_{n}\) la suite auxiliaire définie par ∀n∈N: 
\(v_{n}=\frac{1}{u_{n}+1}\)
a. Montrer que:
\(v_{n}\) est une suite arithmétique de raison \(r=\frac{1}{2}\)
b. Calculer:
\(v_{0}\) puis exprimer \(v_{n}\) en fonction de n
c. En déduire \(u_{n}\) en fonction de n
d. Calculer \(lim_{n⟶+∞} u_{n}\)
5) Calculer en fonction de n la somme \(S_{n}\) telle que:
 \( S_{n}=u_{0} v_{0}+u_{1} v_{1}+…+u_{n} v_{n}\) 
Puis en déduire \(\lim_{n⟶+∞ } S_{n}\)
 
 * Nombre Complexe   (3 points )
1) Résoudre dans l’ensemble ℂ l’équation : z²-6 z+21=0
2) On considère dans le plan complexe rapporté à 
un repère orthonormé \((O, \vec{u}, \vec{v})\) Les points A, B, C et D d’affixes respectives : \(z_{A}=i \sqrt{3} ; z_{B}=-i \sqrt{3}\) \(z_{C}=3+2 i \sqrt{3} ; z_{D}=\bar{z}_{c}\;\)( conjugué de \({z}_{c}\;\))
a) Montrer que les points \(A, B, C\) et \(D\) appartient au même cercle (c) de centre Ω d’affixe ω=3
b) Montrer que:
 \((\frac{z_{D}-1}{4})^{2021}+(\frac{z_{C}-1}{4})^{2018}=z_{A}\)
3) Soit \(E\) le symétrique du point \(D\) par rapport à l’origine 0
a) Déterminer \(z_{E}\) l’affixe du point E
b) Montrer que \(\frac{z_{C}-z_{B}}{z_{E}-z_{B}}=\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}\)
c) En déduire que BCE est un triangle équilatérale.
4) Déterminer l’ensemble des points (E) d’affixe \(z\) telle que : 
\(|-i z+i \sqrt{3}|=|1+i|\)
 
 * Fonction logarithmique et exponentielle   ( 3 points )
1) Calculer les limites suivantes:
a) \(\lim_{n⟶+∞} 2^{n}-3^{n}\)
b) \(\lim_{x⟶+∞}-3 x^{2}+\ln ^{2}(x)\)
c) \(\lim_{x⟶0} ln(\frac{e^{-1+x}-e^{-1}}{x})\)
2) Résoudre les équations suivantes:
a) \(\ln x-(ln x)^{2}=0 \quad ;\) 
b) \(3 e^{2ln x}-10 e^{-ln(\frac{2}{x})}+2=0\) 
c) \(e^{-3x+1}-e^{-x}=0\)
3) Déterminer la fonction dérivée dans chaque cas:
a) \(g(x)=\sqrt{1+e^{-2 x}}\)
b) \(h(x)=\ln(e^{-x^{2}}-2 x)\)
4) Montrer que: \(\lim_{x⟶1} \frac{ln x}{x-1}=1\) et \(\lim _{x⟶ 0} \frac{ln (x+1)}{x}=1\)
 
 * Etudes de Fonctions  ( 11  points )
Partie I
Soit g la fonction numérique définie sur l’intervalle] 0,+∞[
g(x)=x²-2Inx
1) Montrer que ∀x∈] 0,+∞[
 \(g'(x)=\frac{2(x+1)}{x}(x-1)\)
2) Dresser le tableau de variation de la fonction g.
3) En déduire que pour tout x dans l’intervalle] 0,+∞[: g(x)≥0
 
Partie II

On considère la fonction numérique \(f\) définie sur l’intervalle ]0,+∞[ par:
\(f(x)=1-x-\frac{2}{x}(1+ln x)\)

Soit \(C_{f}\) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé \((O,\vec{i}, \vec{j})\) (unité: 1cm)
1) Montrer que \(\lim_{x⟶0 \atop x>0} f(x)=+∞\) 
et donner une interprétation géométrique au résultat obtenu.
2) a) Montrer que \(\lim_{x ⟶+∞} f(x)=-∞\)
b) Calculer \(\lim _{x⟶+∞ }[f(x)-(1-x)]\) 
puis en déduire que la droite Δ d’équation \(y=-x+1\) est une asymptote oblique 
a\(C_{f}\) au voisinage de +∞
3) a) Montrer que ∀ x∈] 0,+∞[: \(f'(x)=-\frac{g(x)}{x^{2}}\)
b) Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\)
4) a) Montrer que ∀ x ≥\(\frac{1}{e}\):\(-\frac{2}{x}(1+ln x)\)≤ 0 
et ∀ x ≤\(\frac{1}{e}\): \(-\frac{2}{x}(1+ln x)≥0\)
b) En déduire la position relative de la courbe \(C_{f}\) et la droite Δ
5) Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique dans l’intervalle  [0.41 ; 0.42]
6) Ecrire l’équation cartésienne de la tangente (T) à \(C_{f}\) au point d’abscisse \(x_{0}=1\)
7) Construire, dans le même repère \((O,\vec{i},\vec{j}),\) la droite Δ la tangente (T) et la courbe \(C_{f}\).
 
Partie III
1) Vérifier que: 
la fonction \(x⟶\frac{1}{2}(lnx)^{2}\) est une fonction primitive de la fonction \(x⟶ \frac{ln x}{x}\) sur l’intervalle ]0,+∞[ 
2) Calculer, en cm² l’aire du domine plan délimité par: 
la droite Δ, la courbe \(C_{f}\) et les deux droites d’équations x=1 et x=e.
 
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