Examen Bac 2 2020 Math Préparation 09

Sujet Maths Bac 2 2020 Math Préparation 09
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème 
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Suite Numérique (3 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Primitive et Intégrale  (3 points )
* Etude d’une fonction numérique (11 points )
 
 
 * Suite Numérique   ( 3  points )

1) Résoudre dans R l’équation x²+x-2=0
2) En déduire les solutions de l’équation:

\(e^{x}+1-2 e^{-x}=0\) dans IR.
3) Résoudre dans R l’inéquation (\(e^{x}-1\))\((e^{x}+2\)) ≥ 0
4) On considère la somme \(S_{n}\) telle que ∀n∊IN :
\(S_{n}=1+\frac{1}{e}+\frac{1}{e²}+…+\frac{1}{e^{n}}\)
Montrer que ∀ n∊IN :
\( S_{n}=\frac{e-\left(\frac{1}{e}\right)^{n}}{e-1}\)
puis en déduire que \(\lim _{n ⇾+∞} S_{n}=\frac{e}{e-1}\)

 

 
 * Nombre Complexe    (3 points )
1) Résoudre dans l’ensemble C l’équation z²-2 z+8=0
2) On considère dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé  et direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\) 
les points  B C et D d’affixes respectives: a=2-2 i,b=3,c=4+2 i ,d=1+i
Calculer \(\frac{c-b}{a-b},\) puis en déduire que les points A B et C sont alignés.
3) Soit M'(z’) image du point M(z) par la rotation R de centre D et d’angle \(\frac{π}{2}\)
a) Montrer que z’=iz+2
b) Vérifie que le point C est l’image du point A par la rotation R
c) Montrer que \(\frac{c-d}{a-d}=i,\) 
puis en déduire que le triangle ACD est rectangle et isocèle en D
 * Primitive et Intégrale    ( 3  points ) 
\(f(x)=x+1-(x²+1) e^{x}\) ; x∈IR
\((C_{f})\) courbe de f (unité: cm²)
1) Montrer que \((C_{f})\) est en dessous de (D): y=x+1
2) Montrer que \(H: x➝(x-1)e^{x}\) est une primitive de \(h: x➝xe^{x}\)
3) Calculer : \(I=\int_{-1}^{0} x{e}^{x}d x\)

 

4) Calculer en utilisant une intégration par parties : 
\(J=\int_{-1}^{0} (x²+1){e}^{x}d x\)
5) Calculer \(I=\int_{0}^{1} f(x) d x\)
6) Calculer en cm²  l’aire du domaine délimité par la courbe \((C_{f})\)
la droite (D), l’axe (Oy) et la droite d’équation x=-1.
 
 * Etudes de Fonctions    ( 11  points ) 
Partie I
Soit g  la fonction numérique définie par: ∀x ∈] 0,+∞[; g(x)=x+2-2ln x
1) a) Montrer que ∀x>0 ; g'(x)=\(\frac{x-2}{x}\) puis dresser le tableau de variation de la fonction g.
b) En déduire que g(x)>0 pour tout x dans l’intervalle ] 0,+∞[
(on prend ln2<2)
 
Partie II
On considère la fonction numérique définie sur l’intervalle] 0,+∞[ par :f(x)=x-1+2ln x-(ln x)²
Soit \(C_{f}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) 
dans uns repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\) (unité:3 cm) 
1) a) Vérifie que  ∀x>0: f(x)=x-1+lnx(2-lnx)
b) En déduire que \(\lim _{x⇾0 \atop x>0}\)f(x)=-∞ puis interpréter géométriquement le résultat.
c) Calculer \(\lim _{x⟶+∞} f(x)\) puis montrer que \(\lim _{x⟶+∞ } \frac{(\ln x)^{2}}{x}=0\) (on pose \(t=\sqrt{x}\) )
d) Montrer que \(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=1\) et que \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)-x=-\infty,\) 
puis en déduire que la courbe \(C_{f}\) admet une branche parabolique de direction asymptotique celle de la droite (D) d’équation y=x au voisinage de +∞.
e) Montrer que ∀ x>0: f(x)-x=-(1-Inx)² puis en déduire que \(C_{f}\) située en dessous de la droite (D)
2) a) Montrer que pour tout x dans l’intervalle ] 0,+∞[:
\(f ‘(x)=\frac{g(x)}{x}\)
b) En déduire que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle ] 0,+∞[
c) Dresser le tableau de variation de la fonction f
sur l’intervalle ] 0,+∞[
d) Déterminer I’équation de la tangente (T) à \(C_{f}\) au point d’abscisse \(x_{0}=1\)
3) Construire, dans le même repère \((O,\vec{u},\vec{v})\) la tangente (T),
la droite (D) et la courbe \(C_{f}\)

 

 
Partie III

On considère la suite numérique \((u_{n}\) définie par:
\(u_{0}=3\) et ∀ n∈IN: \(u_{n+1}=f(u_{n})\)

1) Calculer \(u_{1}\)
2) Montrer par récurrence que ∀nЄN : \(e<u_{n}<3\)
3) Montrer que la suite \((u_{n}\) est décroissante
(on pourra utiliser le résultat de la question (1-e))
4) En déduire que la suite \(u_{n}\) est convergente et déterminer sa limite.
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