* Nombre Complexe (3 points )
Dans Ie plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j})\)
On considère les points A et B d’affixes respectives :
a=i et \(b=e^{-i \frac{5π}{6}}\)
1) Soit le point C l’image du point B
par la rotation \(R\) de centre O et d’angle \(\frac{2π}{3}\)
a) montrer que \(c=e^{-\frac{π}{6}}\) est l’affixe du point \(C\)
b) écrire le nombre complexe \(c\) sous la forme algébrique
2) soit l’homothétie h de centre A et de rapport 2 et soit D
le point d’affixe \(d=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} i\)
a) montrer que
\(ω=\sqrt{3}\) est I’affixe du point Ω l’image du point D par I’homothétie \(h\)
b) montrer que \(\frac{d-c}{ω-c}=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\)
puis en déduire la nature du triangle ΩDC
c) vérifier que le point Ω est l’image du point C
par la translation \(T\) de vecteur \(\overrightarrow{OD}\)
d) en déduire de ce qui précède que le quadrilatère ODΩC est un losange
3) déterminer l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(|z|=|z-\sqrt{3}|\)
* Intégrale ( 3 points )
On pose \(I=\int_{-1}^{0} \frac{x^{2}}{x+2} d x\) et \(J=\int_{-1}^{0} x \ln (x+2) d x\)
1) a) Vérifier que pour tout \(x\) de [-1,0]\(: \quad \frac{x^{2}}{x+2}=x-2+\frac{4}{x+2}\)
b) Montrer que \(I=4 \ln 2-\frac{5}{2}\)
2) En utilisant une intégration par parties, montrer que \(J=-\frac{1}{2}\)
* Etudes de Fonctions ( 11 points )
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur ] 0,+∞[ par: f(x)=2 (lnx)²+lnx-1
et \((C)\) sa courbe représentative dans un repère Orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\) (unité 1cm )
1) a) montrer que \(\lim_{x⟶0\atop x>0} f(x)=+∞\) et interpréter géométriquement le résultat
b) calculer \(\lim_{x⟶+∞} f(x)\)
c) vérifier que pour tout x de ] 0,+∞[: \( \frac{(ln x)^{2}}{x}=4(\frac{ln \sqrt{x}}{\sqrt{x}})^{2}\)
et en déduire que \(\lim_{x⟶+∞} \frac{(\ln x)^{2}}{x}=0\)
d) montrer que la courbe \((C)\) admet au voisinage de +∞ une branche parabolique
dont on déterminera la direction
2) a) montrer que f ‘(x)=\(\frac{4 lnx+1}{x}\) pour tout x de]0,+∞[
b) montrer que la fonction f est décroissante sur l’intervalle ] 0,\(e^{-\frac{1}{4}}\)]
et croissante sur l’intervalle [\(e^{-\frac{1}{4}}\),+∞[
c) dresser le tableau de variations de \(f\)
3) a) vérifier que pour tout x∈]0,+∞[: 2(ln x)²+ln x-1=(2lnx-1)(lnx+1)
b) résoudre dans l’intervalle] 0,+∞[ l’équation 2(ln x)²+ln x-1=0
c) en déduire que la courbe \(C\) coupe l’axe des abscisses en deux points
dont on déterminera les coordonnées
4) a) montrer que f « (x)=\(\frac{3-4lnx}{x²}\) pour tout x de ] 0,+∞[
b) en déduire que la courbe \((C)\) admet un point d’inflexion
dont on déterminera les coordonnées
5) construire la courbe \((C)\) dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j})\)
6) on considère la fonction numérique \(g\) définie sur] \(e^{-\frac{1}{4}}\),+∞[ par : g(x)=f(x)
a) montrer que la fonction \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\)
définie sur un intervalle J à déterminer
b) calculer g(1) puis calculer \((g^{-1})'(-1)\)
c) construire \((C_{g^{-1}})\) la courbe de la fonction \(g^{-1}\)
dans le même repère \((O,\vec{i}, \vec{j})\)