Résumé cours nombre complexe

nombre complexe

Résumé Cours Nombres Complexes



le plan à un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\).

 * Définitions  
En pose i² = −1.
L’ensemble des nombres complexes, noté ℂ, est l’ensemble : ℂ={a +bi/(a,b)∈IR}.
▪ Le réel a est appelé La partie réelle du nombre complexe z et est notée Re( z) .
▪ Le réel b est appelé la partie imaginaire du nombre complexe z et est notée Im( z) .
▪ L’écriture « a + ib » est appelée la forme algébrique du nombre complexe z .
▪ Si Re( z) = 0 le nombre complexe z est appelé imaginaire pur.
▪Egalité de deux nombres complexes :Soit ( z ; z ‘) ∈ ℂ
z = z ‘⇔ Re (z) = Re (z’) et Im (z) = Im (z ‘).

 * Équation du 2ème degré à coefficients réels  

On considère l’équation (E ) : az² + bz + c = 0 avec a ≠ 0
et Soit ∆ = b² − 4ac son discriminant.
▪ Si ∆ > 0, alors (E) admet deux solutions réelles:
\(z_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}\) et \(z_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}\).
▪ Si ∆ = 0, (E) admet une seule solution \(z_{0}=\frac{-b}{2 a}\).
▪ Si ∆ < 0 , alors (E) admet deux solutions complexes
\(z_{1}=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2 a}\) et \(z_{2}=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2 a}\).

 * Conjugué   
Définitions

Soit z le nombre complexe \(z=a+bi​​​\) appelle conjugué de z,
le nombre complexe \(\overline{z}=a-ib​z​​​\).
Exemple:
Soit \(z=3+4iz ⟶ \overline{z}=3−4i\). 

Propriétés:

Pour tous nombres complexes z et z’ et tout entier naturel n :
* \(\overline{z+z^{\prime}}=\overline{z}+\overline{z^{\prime}}\).
* \(\overline{z​z^{\prime}} = \overline{z}\times \overline{z^{\prime}}\).
* \(\overline{(\frac{z}{z^{\prime}​​​​​})}= \frac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime}}}\) pour \(z^{\prime}\)​​​​​​​≠0.
* \(z+\bar{z}\)​​ = 2a =2 Re(\(z\)).
* \(z-\bar{z}\) = 2ib = 2i Im(\(z\))​​.
* \(\overline{(z)^{n}} = (\overline{z})^{n}\)​​.
* \(\overline{(\frac{z}{z^{\prime}})}=\frac{\bar{z}}{\overline{z^{\prime}}}\).
* \(z=\bar{z}\) ⇔ \(z∊R\).
* \(z=-\bar{z}\) ⇔ \(z\)∊iR.
* \(z\bar{z}\)=a²+b².

Exemple:

\(\overline{\frac{1+i}{​3-i}}= \frac{1-i}{​3+i}\).​​
\(\overline{(2+i)^{3}} = (2-i)^{3}\)​​.

 * Représentation géométrique  
Définitions:
*A tout nombre complexe z=a+ib, on associe le point M de coordonnées (a;b).
On dit que M est l’image de z (l’image ponctuelle) 

et que z est l’affixe du point M (z = aff (M)).
*A tout vecteur \(\vec{w}\) ​de coordonnées (a;b) on associe le nombre complexe z=a+ib.
On dit que z est l’affixe du vecteur \(\vec{w}\).


Propriétés:
*
 M appartient à l’axe des abscisses si et seulement si son affixe z est un nombre réel.
*
 M appartient à l’axe des ordonnées si et seulement si son affixe z est un nombre imaginaire pur.
* Deux nombres complexes conjugués ont des affixes symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
Exemple:
\(z_{A}=2+3i ⟶ A(2,3)\)

 * Affixe d’un vecteur | milieu | barycentre  
Soient A et B deux points d’affixes respectives \(z_{A}\) ​​et \(z_{B}\).
* l’affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}​​\)​​​​ est égale à :\(z_{\overrightarrow {AB}}=z_{B}-z_{A}\).
* l’affixe du milieu M du segment [AB] est égale à :\(z_{M}=\frac {z_{A}+z_{B}} {2}\).
* L’affixe de G le barycentre de A( α) et B(β) est :\(z_{G}=\frac {(αz_{A}+βz_{B})} {α+β} \) avec (α + β) ≠ 0.

Propriétés: soient \(\vec{w}(z)\) et \(\vec{w^{\prime}}(z^{\prime}​​)\) deux vecteurs du plan et k un nombre réel.
* Le vecteur \(\vec{w}+\vec{w​^{\prime}}\) a pour affixe z+z​′​​.
* Le vecteur \(k\vec{w}\) a pour affixe \(kz\).



 * Le module d’un nombre complexe  

Le module du nombre complexe z = a +ib est le
nombre réel positif \(|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\).

Propriétés:pour tous nombres complexes z et z​′​​ :
*
\(|z|²= z ×\overline {z}\)
\(∣zz​′​​∣=∣z∣×∣z​′​​∣\).
*\(​​∣\frac{1}{z​}​​∣=​\frac{1}{∣z∣}\) pour \(z≠0).
*\(​​∣\frac{z}{z​’}​​∣=​\frac{∣z∣}{∣z​’∣}\) pour z’​​≠0.
*\(∣z + z ‘∣ ≤ ∣z∣ + ∣z’∣\)

 * L’argument d’un nombre complexe  
Soit z∈ℂ et M( z) son image ponctuelle.
On appelle argument de z et on note arg(z) une mesure exprimée en radians de l’angle
\((​\vec{u}​​;​​\vec{OM})\).

Propriétés:
z∈IR⁺* ⇔ arg (z)≡0 [2π]. (Ex: arg(2020)≡0 [2π])).
z∈IR⁻* ⇔ arg (z)≡π [2π]. (Ex: arg(-2019)≡π [2π])).
z∈iIR* ⇔ arg (z)≡\(\frac {π }{2}\) [2π]. (Ex: arg(75i)≡\(\frac {π }{2}\) [2π])).
z∈iIR* ⇔ arg (z)≡\(\frac {-π }{2}\) [2π]\). ∥(Ex: arg(-91i)≡\(\frac {-π }{2}\) [2π])).

Exemple:
Soit z=\(\sqrt{3}\)+1 ⟶ | z |=\(\sqrt {3 + 1}\)= 2.
Si θ est un argument de z :

z=\(2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)\)
cos (θ)=\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) et sin (θ)=\(\frac{1}{2}\).

donc: θ=\(\frac{π }{6}\)[2π].


Propriétés:

pour tous nombres complexes z et z​′​​ non nuls et tout entier n∈Z :

*arg (z × z ‘) = arg (z)+arg (z’) [2π].
*arg (-z) =arg (-1×z)= arg (-1)+arg (z)=π+arg (z) [2π].
*arg (\(\frac{1 }{z} \)) = – arg (z) [2π].
*arg (\(\frac{z }{z​^{\prime}}) \)= arg (z)-arg (\(z​^{\prime})\) [2π].
*arg(\(\overline{z}\)) = – arg (z) [2π].
*arg (z) ⁿ = n × arg (z) [2π] (n∈Z).

 * La forme trigonométrique  
Soit z = a +ib un nombre complexe de module r et d’argument θ,
alors z = r (cosθ +i sinθ ) = [r,θ].
Le passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique :
z = a +ib ⟶ cos(θ)=\(\frac{a}{​​∣z∣}\) et sin(θ)=\(\frac{b}{​​∣z∣}\)
D’où: z =r (cos(θ) + isin(θ) ) = [r,θ].

Exemple:
Soit z=1+i on pose z=[r,θ]

*r=| z |=\(\sqrt {1 + 1}\)=\(\sqrt {2}\).
*cos(θ)=\(\frac{1}{\sqrt {2}}\) et sin(θ)=\(\frac{1}{\sqrt {2}}\).

θ=\(\frac{π }{4}\)[2π].
Donc La forme trigonométrique de z est :
z =\(\sqrt {2}\) (cos(\(\frac{π }{4}\)) + isin(\(\frac{π }{4}\)) ) = [\(\sqrt {2}\),\(\frac{π }{4}\)].

 * La notation exponentielle  
z est un nombre complexe de module r et d’argument θ, 
la notation exponentielle du nombre z est :\(z=re^{iθ}\).

Exemple:
*\(2=2(1+0i)=2(cos(0)+sin(0)i)=2e^{0i}\). (|2|=5 )
*\(-3=3(-1+0i)=3(cos(π)+sin(π)i)=(3e^{iπ}\). (|-3|=3 )
*\(4i=4(0+i)=4(cos(\frac{π}{2})+isin(\frac{π}{2}))\)

\(=4e^{i\frac{π}{2}}\). (|4i|=4 ).

*\(-5i=5(0+i)=5(cos(\frac{π}{2})+isin(\frac{π}{2}))\)

\(=5e^{i\frac{π}{2}}\). (|-5i|=5).


Propriétés:* \(re^{iθ}\)× \(r’e^{iθ’}\) = \((r×r’)e^{i(θ+θ’)}\)
* \((re^{iθ})^{n}\) = \(r^{n}e^{inθ}\)
* \(\frac{re^{iθ}}{r’e^{iθ’}}\) = \(\frac{r}{r’}e^{i(θ-θ’)}\)
* \(\overline {re^{iθ}}\) = \(re^{-iθ}\)

Exemple:

a=(1+\(\sqrt {3}\)i)(1+i)
a=\(2e^{i\frac{π}{3}}\)× \(\sqrt {2}e^{i\frac{π}{4}}\)
a=\((r×r’)e^{i(θ+θ’)}\)
a= \(2\sqrt {2}e^{i(\frac{π}{3}+\frac{π}{4}})\)


b=\(\frac{(\sqrt {3}i+1)}{3i}\)
b=\(\frac{2e^{i\frac{π}{3}}}{3e^{i\frac{π}{2}}}\)
b=\(\frac{2}{3}e^{i(\frac{π}{3}-\frac{π}{2})}\)


c=\(\frac{{i}^{2020}}{-2}\)
* -2=\(2e^{iπ}\)
* \({i}^{2020}=(1×e^{i\frac{π}{2}})^{2020}
=1^{2020}×e^{i\frac{π}{2}×2020}=e^{i×1010π}\).
d’où: c= \(\frac{e^{i×1010π}}{2e^{iπ}}\)
c=\(\frac{1}{2} e^{i×1009π}\)
Donc: c=\(\frac{1}{2} e^{i×π}\).

✓Remarque:
* \(e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta\) ∥ \(|e^{i \theta}|=1\)  ∥ \(arg(e^{i \theta})=\theta [2 \pi]\).


*\(\arg \left(-e^{i \theta}\right) \equiv \operatorname{ag}(-1)+\arg \left(e^{i \theta}\right)[2 \pi]=\theta+\pi [2 \pi]\).
*\(\arg \left(2 e^{i \theta}\right)=arg(2)+arg(e^{i \theta})=\theta [2 \pi]\).
*\(\arg \left(2 i e^{i \theta}\right)=arg(2 i)+arg(e^{i \theta})=\frac{\pi}{2}+\theta [2 \pi]\).
*\(\operatorname{ag}\left(-2 i e^{i \theta}\right)=arg(-2 i)+arg(e^{i \theta})=-\frac{\pi}{2}+\theta [2 \pi]\).

 * Utilisation en géométrie  
* La distance :
\(AB=|z_{B}-z_{A}|\)

Les angles:
\((\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})\) ≡ arg \((\frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}})\) [2π]

*Colinéarité | alignement:
A,B et C sont aligné ⇔\(\frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}\) ∈ IR.

*Orthogonalité :
\(\overrightarrow{A B}\) et \(\overrightarrow{A C}\) sont orthogonaux \(\Leftrightarrow \frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}} \)∈ iIR.

*La translation :
La transformation \(T\) qui transforme le point M (z)au point M'(z’).
Tel que: z’= z+a avec a un complexe fixé.
⟶ \(T\) est une translation de vecteur \(\overrightarrow{u}\) d’affixe a.
on note: \(T_{\overrightarrow{u}}\) M (z) = M'( z’).

Exemple:On pose \(\overrightarrow{u}\)(a=(1+i)),A(z=3i)
Calcule de z’ tel que et \(T\)(A)=B(z’):
\(T\)(A)=B ⟶ z ‘=z+a ⟶ z’=(3i)+(1+i)=1+4i.

*L’homothétie :
Soient les points M (z) ,M'(z’ ),Ω(ω) et k∈ IR*.
La transformation \(H\) qui transforme le point M (z) au point M'(z’)
Tel que: z’−ω = k ( z −ω).
⟶ \(H\) est un homothétie de centre Ω(ω) et de rapport k.
on note: \(H\)(Ω,k) M (z) = M'(z’).

Exemple:On pose Ω(ω=i),A(z=(1+3i)) 
et \(H\) un homothétie de centre Ω et de rapport k=2.
Calcule de z’ \(H\)(A)=B(z’) :
⟶ z’−ω = k ( z−ω)
⟶ z’-i= 2((1+3i)-i) ⟶ z’=2+5i.

*La Rotation :
Soient les points M (z),M ‘(z’),Ω(ω) et θ∈ IR .
La transformation \(R\) qui transforme le point M ( z) au point M ‘( z’)
Tel que: z’−ω = \(e^{iθ}\) (z −ω).
⟶ \(R\) est une rotation de centre Ω(ω) et d’angle θ.
on note: \(R\)(Ω,θ) M (z) = M ‘( z’).

Exemple:On pose A(z=2), B(z’=2i) 
et \(R\) une rotation de centre Ω(ω=0) et d’angle \(θ=\frac{π}{2}\).
Montrer que \(R\)(A)=B :
Montrons que z ‘−ω = \(e^{iθ}\) (z −ω).

Calculons:
* z ‘−ω =2i-0=2i
* \(e^{iθ}\) (z −ω)=
\(e^{i\frac{π}{2}}\)(2-0)=2i
D’où: z ‘−ω=\(e^{iθ}\) (z −ω)
Donc \(R\)(A)=B.


*ABCD parallélogramme: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).

est un parallélogramme  \(z_{B}-z_{A}=z_{C}-z_{D}\) 


*ABCD Rectangle: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) et \((\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})\)≡\(\frac{±\pi}{2}\) [2π].

ABCD est un Rectangle  \(z_{B}-z_{A}=z_{C}-z_{D}\)  arg \((\frac{z_{D}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}})\)≡\(\frac{±\pi}{2}\) [2π].


ABCD Carré: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), \((\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AB})\)≡\(\frac{±\pi}{2}\) [2π] et AB=AD.


ABCD est un Carré  \(z_{B}-z_{A}=z_{C}-z_{D}\) ∥ arg \((\frac{z_{D}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}})\)≡\(\frac{±\pi}{2}\) [2π] ∥ \(|z_{B}-z_{A}|=|z_{D}-z_{A}|\).



ABCD Trapèze: \(\overrightarrow{AD}=k \overrightarrow{BC}\) avec k∈IR.

ABCD est un Trpéze  \(z_{D}-z_{A}=k(z_{C}-z_{B})\). 

* ABC est un triangle isocèle en A: AB=AC

ABC est un triangle isocèle  \(|z_{B}-z_{A}|=|z_{C}-z_{A}|\).


* ABC est un triangle rectangle en A: \((\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})\)≡\(\frac{±\pi}{2}\) [2π].

ABCD est un triangle rectangle en A  arg \((\frac{z_{C}-z_{A}}{z_{A}-z_{A}})\)≡\(\frac{±\pi}{2}\) [2π].


* ABC est un triangle équilatérale: AC=AB et \((\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB})\)≡\(\frac{±\pi}{6}\) [2π]

* ABC est un triangle équilatérale \(|z_{B}-z_{A}|=|z_{C}-z_{A}|\) et arg \((\frac{z_{B}-z_{A}}{z_{C}-z_{A}})\)≡\(\frac{±\pi}{6}\) [2π].

Résumé du Cours pour Bac 2


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