Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 61
Calculer S
S=101×10001×…×10…01
chaque terme du produit à un nombre de 0
sous la forme (2ⁿ – 1) avec n∈IN*
et S contient 127 terme.
Solution:
On a:
S=101x10001x…x10…01
Terme 1: 101=10²+1
Terme 2: 10001=10⁴+1
.
.Terme 127: 10…01=10¹²⁸+1
d’où:
S=(10²+1)(10⁴+1)…(10¹²⁸+1)
On va calculer
(10²-1)xS=(10²-1)(10²+1)(10⁴+1)…(10¹²⁸+1)
on a:
(10²-1)(10²+1)=10⁴-1
➝ (10²-1)xS=(10⁴-1)(10⁴+1)…(10¹²⁸+1)
on a:
(10⁴-1)(10⁴+1)=10⁸-1
➝ (10²-1)xS=(10⁸+1)…(10¹²⁸+1)
.
.
.
(10²-1)xS=(10¹²⁸-1)(10¹²⁸+1)
(10²-1)xS=(10²⁵⁶-1)
99xS=99…99 ( terme contient 256 de « 9 »)
4 math .net Le première clé pour être bon en maths
(compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner
