Olympiade Math – Arithmétique 01 – Ex 26
Montrer que:
pour tout entier naturel n
Tel que n≥2
on a: (n⁵-n) est divisible par 30.
Solution
Soit n∊ IN:
on a
n⁵ – n = (n-1) n (n + 1) (n² + 1)
* d’une part
6 divice (n-1) n (n + 1) ①
Parce qu’ils sont 3 numéros consécutifs
* d’autre part
On a 5 cas pour n mod 5 :
*Si n = 0 mod 5,
alors 5 divice (n-1) n (n + 1)
*Si n = 1 mod 5
➝ n-1 = 0 mod 5
alors 5 | (n-1) n (n + 1)
*Si n = 4 mod 5
➝n+1 = 0 mod 5
alors 5 | (n-1) n (n + 1)
*Si n = 2 mod 5
➝ n² + 1=0 mod 5
alors 5 divice (n² + 1)
*Si n = 3 mod 5
➝ n² + 1=0 mod 5
alors 5 divice (n² + 1)
On conclu:
(n-1) n (n + 1) (n² + 1) divice 5 ②
①&②⤵️
(n-1) n (n + 1) (n² + 1) divice 30.
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