Olympiade Math – Arithmétique 01 – Ex 26

Olympiade Math - Arithmétique

Montrer que:
pour tout entier naturel n
Tel que n≥2
on a: (
n⁵-n) est divisible par 30.

Solution

Soit n∊ IN:
on a

n⁵ – n = (n-1) n (n + 1) (n² + 1) 

* d’une part 

6 divice  (n-1) n (n + 1)
Parce qu’ils sont 3 numéros consécutifs
 
* d’autre part 
On a 5 cas pour n  mod 5 :
 
*Si n = 0 mod 5, 
alors 5 divice (n-1) n (n + 1)
 
*Si n = 1 mod 5
 ➝ n-1 = 0 mod 5 
alors 5 | (n-1) n (n + 1)
 
*Si n = 4 mod 5
 ➝n+1 = 0 mod 5
alors 5 | (n-1) n (n + 1)
 
*Si n = 2 mod 5
 ➝ n² + 1=0 mod 5
alors 5 divice  (n² + 1)
 
*Si n = 3 mod 5
 ➝ n² + 1=0 mod 5
alors 5 divice  (n² + 1)
 
On conclu:
(n-1) n (n + 1) (n² + 1)  divice 5
①&②⤵️
(n-1) n (n + 1) (n² + 1)  divice 30.
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