Limite et continuité :Résolution d’équations de la forme f(x) = k

Limite et continuité

 ⇲  Résolution d’équations de la forme f(x) = k 

Activité 1
Soit h la fonction définie sur [-1, 2] par

et représentée dans le graphique ci-contre :



1) Justifier la continuité de la fonction h sur l’intervalle [-1, 2].
2) Résoudre graphiquement l’équation 

3) a) Calculer h (1) et h (2) et justifier que 0 appartient à l’intervalle h([1, 2]) . 
b) En déduire que l’équation h(x) = 0 possède une solution α dans l’intervalle 
]1, 2[ puis prouver que 1 < α < 1,5. 
4) Montrer de même que h(x) = 0 possède une deuxième solution β dont on donnera 
un encadrement d’amplitude 0,5.

Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I.
Soit a et b deux réels de I tels que a< b.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b),
l’équation f(x) = k possède au moins une solution dans l’intervalle [a,b].

 

Théorème des valeurs intermédiaires 
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. 
Soit a et b deux réels de I tels que a< b. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b),
l’équation f(x) = k possède au moins une solution dans l’intervalle [a,b]. 


Corollaire 2 
Si f est une fonction continue sur un intervalle et ne s’annule en aucun réel de cet intervalle
alors elle garde un signe constant sur cet intervalle. 

Activité 3 
( unicité de la solution ) 
Soit la fonction f:x↦2 x3 +2x -1
1) Montrer que f est continue et strictement croissante sur R . 
2) Montrer que l’image de l’intervalle [0, 1] par f est l’intervalle [-1, 3]. 
3) Montrer que l’équation f(x)=0 admet une solution unique α dans l’intervalle ]0, 1[. 
4) Donner une valeur approchée, à 10-2 près par défaut, de α . 

 ⇲  Théorème 
Si f est une fonction continue
et strictement monotone sur un intervalle [a, b]
et vérifiant f(a).f(b) < 0
alors il existe un réel unique c appartenant à l’intervalle ouvert ]a, b[
tel que f(c) = 0. 

Activité 4 
Dans le plan muni d’un repère 
la fonction f définie sur R par f:x↦x5 +x5 -3
la fonction f définie sur par (voir graphique ci-contre)


1) Justifier que f est continue sur R 
2) Montrer que f est strictement croissante sur [0, 2]. 
3) a) Calculer f (0) et f (2). 
b) En déduire que l’équation f(x) = 0
admet une solution unique appartenant à l’intervalle [0, 2]. 
4) On désigne par α la solution de l’équation f(x) = 0 dans l’intervalle [0, 2]. 
a) Calculer f (1) et en déduire que α appartient à [1, 2]. 
b) Calculer f (1,5) et en déduire une valeur approchée, à 0,5 près par défaut, de α. 
c) Calculer f (1,25) et en déduire une valeur approchée, à 0,25 près par défaut, de α. 

Commentaires :
Pour trouver une valeur approchée d’une solution α de l’équation 
f(x)= 0, dans un intervalle [a, b], on utilise la dichotomie de la façon suivante : 
– On partage [a, b] en deux intervalles [a, c] et [c, b] de même amplitude. 
– On détermine lequel de ces deux intervalles contient α en utilisant le corollaire1. 
– On recommence avec cet intervalle les deux étapes précédentes. 
– On s’arrête lorsqu’on a obtenu un encadrement satisfaisant de α. 
(Dichotomie signifie : division en deux) 


Activité 5
Soit f la fonction définie sur par f(x) = 2x3 – 3x2 – x + 1. 
a) Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique α dans l’intervalle [0, 1]. 

b) Utiliser la méthode de dichotomie pour déterminer une valeur approchée de α.

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