Limite et continuité
⇲ Limites et comportement asymptotique
Activité 1
1) Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 2x³ – 3x² – x + 1
dont la courbe est représentée par le graphique ci-contre.
Montrer que la courbe (C) de f admet au voisinage de +∞ et de -∞
des branches paraboliques de direction celle de l’axe des ordonnées. Activité 1
1) Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 2x³ – 3x² – x + 1
dont la courbe est représentée par le graphique ci-contre.
Montrer que la courbe (C) de f admet au voisinage de +∞ et de -∞
2) On a représenté dans le graphique ci-contre
la fonction f défini sur [1/2,+∞[
Montre que sa courbe (C) admet au voisinage de +∞
Montre que sa courbe (C) admet au voisinage de +∞
une branche parabolique de direction celle de l’axe des abscisses.
Branches paraboliques d’une courbe:
Branches paraboliques d’une courbe:
alors (Cf) admet en + ∞ (resp. en – ∞)
une branche parabolique de direction celle de l’axe des ordonnées.
une branche parabolique de direction celle de l’axe des ordonnées.
alors (C f) admet en + ∞ ( resp. en – ∞ )
une branche parabolique de direction celle de l’axe des abscisses.
une branche parabolique de direction celle de l’axe des abscisses.
Activité 2
et représentée ci-contre :
Montrer que sa courbe possède une asymptote horizontale
et une asymptote verticale.
et une asymptote verticale.
Asymptotes parallèles aux axes du repère
Asymptote verticale
On dit que la droite Δ : x = a est une asymptote à la courbe de f
dans l’un des quatre cas suivants :
On dit que la droite
Δ : y= b est une asymptote à la courbe de f lorsque
Activité 3
a) Montrer que la droite D : x = -1 est une asymptote à (C).
b) Montrer que pour tout x différent de -1 on a
c) Prouver alors que la droite Δ: y =2x +2
est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de +∞ et de -∞.
Asymptote oblique à une courbe
On dit que la droite Δ : y = ax + b
est une asymptote oblique à la courbe de f
au voisinage de -∞ (resp. de +∞)
si on a :
soit la fonction:
a) Donner l’ensemble de définition et préciser le domaine de continuité de f.
b) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. c) Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
soit la fonction:
a) Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout x ≠ 2 on a :
b) Déterminer les asymptotes à la courbe représentative C de g.
3) soit h la fonction définie sur IR par:
a) Calculer:
b) Montrer que la droite D : y = x + 0,5
est une asymptote oblique à la courbe représentative (C) de h au voisinage de +∞. c) Etudier le comportement asymptotique de la courbe (C) au voisinage de -∞.
4) Soit k la fonction définie par:
Montrer que sa courbe représentative admet une branche parabolique
de direction la droite D : y = x au voisinage de +∞.
Soit f une fonction définie sur un intervalle du type [c, +∞[ .
Asymptote oblique
4) Soit k la fonction définie par:
de direction la droite D : y = x au voisinage de +∞.
Soit f une fonction définie sur un intervalle du type [c, +∞[ .
Asymptote oblique
alors la droite D : y = ax + b
est une asymptote oblique à la courbe représentative de f au voisinage de +∞ .
est une asymptote oblique à la courbe représentative de f au voisinage de +∞ .
Branche parabolique
une branche parabolique de direction celle de la droite D: y = ax.
Les résultats sont vrais pour une fonction f.
définie sur un intervalle du type ]-∞, c] et x tendant vers -∞.
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4 math va vous aider à développer vos compétences et à consolider et approfondir vos connaissances en mathématiques.
À lire aussi : retrouve le cours complet de limites et continuité 2BAC PC-SVT et la série d’exercices corrigés de limites et continuité.