Olympiade Math – Fonction – Ex 09

Olympiade Math  Fonction
Olympiade Math – Fonction – Ex 09
Olympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade Math – Fonction Exercice 09

f est une fonction définie sur IR*-{1}:
Tel que:
∀x∈IR*-{1}
\(f(x)+f(\frac{x-1}{x})=\frac{x-1}{x}\)

Calculer f(x)?

Solution:
x réel tel que: x≠0 et x≠1
On a
\(f(x)+f(\frac{x-1}{x})=\frac{x-1}{x}\) ①

on prend: \(y=\frac{x-1}{x}\)
on a:
\(f(y)+f(\frac{y-1}{y})=\frac{y-1}{y}\)
d’ où:
\(f(\frac{x-1}{x})+f(\frac{1}{1-x})=\frac{1}{1-x}\) ③

on prend: \(y=\frac{1}{1-x}\)
\(f(\frac{1}{1-x})+f(x)=x\)

①-②+③ donc:
\(f(x)=\frac{1}{2}\left[x+\frac{x-1}{x}-\frac{1}{1-x}\right]=\frac{x^{3}-x+1}{2 x(x-1)}\)


Olympiade 
de Maths, c’est une gymnastique de l’esprit, 
Ce qu’il faut c’est 4math.net et beaucoup de pratiques
4math.net Le première clé pour être bon en maths

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

"https://www.4math.net/