Olympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade Math – Combinatoire – Exercice 05
S=1,3,5,7,9,… de tous les entiers positifs composés uniquement de chiffres impairs.
Trouvez le 2019 terme de la séquence S.
Solution:
* Nombre de 1 chiffre: 5 termes.
{1,3,5,7,9}
* Nombre de 2 chiffre: ab
a∊{1,3,5,7,9}
b∊{1,3,5,7,9}
5×5=25 termes.
* Nombre de 3 chiffre: abc
a∊{1,3,5,7,9}
b∊{1,3,5,7,9}
c∊{1,3,5,7,9}
5x5x5=125 termes.
* Nombre de 4 chiffre: abcd
a∊{1,3,5,7,9}
b∊{1,3,5,7,9}
c∊{1,3,5,7,9}
d∊{1,3,5,7,9}
5x5x5x5=625 termes.
Nombres terme de S ≤ 4
5+25+125+625=780
nous voulons le terme 2019
il nous reste :
2019-780= 1239 termes.
* Nombre de 5 chiffre: 1bcde
qui commence par 1
1x5x5x5x5=625 termes.
il nous reste :
1239 -625= 614 termes.
* Nombre de 5 chiffre: 3bcde
qui commence par 3
1x5x5x5x5=625 termes.
614-625=-11
il faut reculer de 11 termes
les 9 plus grand nombres de 3bcde:
39999,39997,39995,39993,39991 = 5 termes
39979,39977,39975,39973,39971 =5 termes
39959 =1 termes
* Donc : le 2019 terme de la séquence S est : 39957
