Olympiade Math – Combinatoire – Ex 05

Olympiade Math Combinatoire

Olympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade Math – Combinatoire – Exercice 05

Considérons la séquence croissante suivante
S=1,3,5,7,9,… de tous les entiers positifs composés uniquement de chiffres impairs.
Trouvez le 2019 terme de la séquence S.

Solution:

Les nombres de S:
* Nombre de 1 chiffre: 5 termes.
{1,3,5,7,9}

* Nombre de 2 chiffre: ab
a∊{1,3,5,7,9}
b∊{1,3,5,7,9}
5×5=25 termes.

* Nombre de 3 chiffre: abc
a∊{1,3,5,7,9}
b∊{1,3,5,7,9}
c∊{1,3,5,7,9}
5x5x5=125 termes.

* Nombre de 4 chiffre: abcd
a∊{1,3,5,7,9}
b∊{1,3,5,7,9}
c∊{1,3,5,7,9}
d∊{1,3,5,7,9}
5x5x5x5=625 termes.

Nombres terme de S ≤ 4
5+25+125+625=780
nous voulons le terme 2019
il nous reste :
2019-780= 1239 termes.

* Nombre de 5 chiffre: 1bcde
qui commence par 1
1x5x5x5x5=625 termes.
il nous reste :
1239 -625= 614 termes.

* Nombre de 5 chiffre: 3bcde
qui commence par 3
1x5x5x5x5=625 termes.
614-625=-11
il faut reculer de 11 termes

les 9 plus grand nombres de 3bcde:
39999,39997,39995,39993,39991 = 5 termes
39979,39977,39975,39973,39971 =5 termes
39959 =1 termes
* Donc : le 2019 terme de la séquence S est : 39957

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