Olympiade Math – Arithmétique 02 – Ex 10

Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade de Math – Arithmétique Niveaux 02 – Exercice 10
Trouver le plus petit entier n ≥ 2
Tel que toutes les fractions suivantes:

soient irréductibles.
Solution:
Soit n∊IN.
* On a:

pour tout p = 19, 20,. . . , 91 
d’après hypotypose:
p/(n + p) est irréductible 
 PGCD (p, (n + p))=1 ①
* d’autre part:
(n + p) − p = n
 PGCD (p, n + p) = PGCD (p, n) 
①⤵️
PGCD (p, n) =1
* si n ∊{2, . . . , 18} 
PGCD (p, n) ≠1
 n ∉ {2, . . . , 18}
* si n ∊ {19, . . . , 91} 
PGCD (p, n) ≠1
 n ∉ {19, . . . , 91}
* On déduire que n ≥ 92 
et les facteurs premiers dans la décomposition de n doivent être supérieurs à 92 .
(en fait, sinon PGCD (p, n)≠1). 

On Conclure que le plus petit entier qui satisfait cette condition est 92.

Olympiade de Maths, c’est une gymnastique de l’esprit, Ce qu’il faut c’est 4 math .net et beaucoup de pratiques. 
4 math .net Le première clé pour être bon en maths
Soit n∊IN.
* On a:

pour tout p = 19, 20,. . . , 91 
d’après hypotypose:
p/n + p est irréductible 
 PGCD (p, n + p)=1 ①
* d’autr part:
(n + p) − p = n
 PGCD (p, n + p) = PGCD (p, n) 
①⤵️
PGCD (p, n) =1

* si n ∊{2, . . . , 18} 
PGCD (p, n) ≠1
 n ∉ {2, . . . , 18}

* si n ∊ {19, . . . , 91} 
PGCD (p, n) ≠1
 n ∉ {19, . . . , 91}

* On déduire que n ≥ 92 
et les facteurs premiers dans la décomposition de n doivent être supérieurs à 92 .
(en fait, sinon PGCD (p, n)≠1). 

On Conclure que le plus petit entier qui satisfait cette condition est 97.

Liens utiles :

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
Olympiade de Maths, c’est une gymnastique de l’esprit, Ce qu’il faut c’est 4math.net et beaucoup de pratiques. 4math.net Le première clé pour être bon en maths

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée.