Olympiade Math – Arithmétique 01 – Ex 22
Déterminer tous les couples (x,y) d’entiers naturels.
Tel que: 3(x² + y²) -7(x + y) = -4.
Solution
On a:
3(x² + y²) -7(x + y) = -4
3x²-7x+3y²-7y=-4 ①
utilisant identité remarquable:
①x12
➝ 36x²-84x+36y²-84y=-48
➝ (6x)²-2x7x6x+7²-7²+(6y)²-2x7x6y+7²-7²=-48
➝ (6x-7)²+(6y-7)²=-48+49+49
➝ (6x-7)²+(6y-7)²=50
Décomposition 50 en somme de somme de deux carrés:
50=7²+1²=5²+5²
* d’ou :
6x-7=1 & 6y–7=7
6x–7=7 & 6y –7=1
6x – 7=5 & 6y–7=5
* Donc:
(x,y) = (1; 0); (0; 1); (2; 2)
3(x² + y²) -7(x + y) = -4
3x²-7x+3y²-7y=-4 ①
utilisant identité remarquable:
①x12
➝ 36x²-84x+36y²-84y=-48
➝ (6x)²-2x7x6x+7²-7²+(6y)²-2x7x6y+7²-7²=-48
➝ (6x-7)²+(6y-7)²=-48+49+49
➝ (6x-7)²+(6y-7)²=50
Décomposition 50 en somme de somme de deux carrés:
50=7²+1²=5²+5²
* d’ou :
6x-7=1 & 6y–7=7
6x–7=7 & 6y –7=1
6x – 7=5 & 6y–7=5
* Donc:
(x,y) = (1; 0); (0; 1); (2; 2)
On a:
3(x² + y²) -7(x + y) = -4
3x²-7x+3y²-7y=-4 ①
utilisant identité remarquable:
①x12
➝ 36x²-84x+36y²-84y=-48
➝ (6x)²-2x7x6x+7²-7²+(6y)²-2x7x6y+7²-7²=-48
➝ (6x-7)²+(6y-7)²=-48+49+49
➝ (6x-7)²+(6y-7)²=50
Décomposition 50 en somme de somme de deux carrés:
50=7²+1²=5²+5²
* d’ou :
6x-7=1 & 6y–7=7
6x–7=7 & 6y –7=1
6x – 7=5 & 6y–7=5
* Donc:
(x,y) = (1; 0); (0; 1); (2; 2)
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