Olympiade Math – Fonction – Ex 07

Olympiade Math  Fonction
Olympiade Math – Fonction – Ex 07
Olympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
F est une fonction définie sur IN:
Tel que:
* F(11)=11
* pour tout entier naturel n, on a :
* ∀ n∈IN :\(F(n+3)=\frac{F(n)-1}{F(n)+1}\)
Calculer f(2018)?

Solution
* On a: F(11)=11
* F(14)=F(11+3)
= (F(11)-1) / (F(11)+1)
➝F(14)=10/12=5/6
* F(17)=F(14+3)
=(f(14)-1) / (f(14)+1)
F(17)= (5/6 – 1) / (5/6+1)
➝f(17)= (-1/6)/ (11/6)=-1/11

* F(20)=F(17+3)
=(f(17)-1) / (f(17)+1)
F(17)= (-1/11 – 1) / (-1/11+1)
➝f(17)= (-12/11)/ (10/11)=-6/5

* on conclu:
F(11+3×0)= 11
F(11+3×1)= 5/6
F(11+3×2)=-1/11
F(11+3×3)=-6/5

Calculons F(11+3×4))
F(11+3×4)=(f(11+3×3)-1) / (f(11+3×3)+1)
=(-6/5-1) / (-6/5+1)
=-11/5 / -1/5= 11=F(11+3×0)

il est facile à montrer par récurrence:

F(11+3(4n))=11
F(11+3(4n+1))=5/6
F(11+3(4n+2))=-1/11
F(11+3(4n+3))=-6/5

* on prend: n=167
F(2018)=11+ 3x(4×167+1)=11+ 3x(4×167+1)

Donc: F(2018)=5/6
Olympiade de Maths, c’est une gymnastique de l’esprit, Ce qu’il faut c’est 4math.net et beaucoup de pratiques
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