Olympiade Math – Arithmétique 02 – Ex 05

 
Olympiade Math Arithmétique
Olympiade Math – Arithmétique 02 – Ex 05
Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
▶️ Olympiade Mathématiques – Arithmétique Niveaux 02 – Ex 05

1- Est-ce que 2016 est divisible par 81 ?
2- Est-ce que 20162016 est divisible par 81 ? 
3- Montrer que l’entier

N = 2016 · · · 2016
(« 2016 » étant écrit 2016 fois)
est divisible par 81.


Solution
on rappelle n nombre est divisible par 9
si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
1-  La somme des chiffres de 2016 (=9) est divisible par 9.
➝ 2016=9྾224
* La somme des chiffres de 224 (=8)
➝ 224  n’est pas divisible par 9.
On en déduit que 2016 n’est pas divisible par 9 × 9 = 81.  
2- De même on voit que 20162016 divisible par 9.
20162016= 9྾2240224. 
* 2240224 n’est pas divisible par 9,
donc 20162016 n’est pas divisible par 81.
3- N = 2016 + 2016྾10⁴ + 2016྾10⁸ + · · · + 2016྾10⁴ˣ²⁰¹⁵.
Comme 2016 = 9྾224,
on en déduit que 
N = 9྾(244+ 244྾10⁴ + 244྾10⁸ + · · · + 244྾10⁴ˣ²⁰¹⁵). 
➝ N=9྾N’
➝ N’=0224 · · · 0224 (« 0224 » étant écrit 2016 fois).
* la somme des chiffres de
N’ =  (2 + 2 + 4) × 2016 = 8 × (9 × 224) 
➝  N’ est divisible par 9
On en déduit que N est divisible par 9྾9 = 81.


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