Olympiade Math – Arithmétique 02 – Ex 04

Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

  

Trouver l’entier naturel n.
Tels que « n² + 8n + 44 » soit un carré parfait.

Solution

* on pose
f(n)=n² + 8n + 44
Raisonnement par l’absurde ↴
on suppose que: f(n)=k²
ona f(n)=(n+4)²+28
k² > (n+4)²
* f(n)-(n+6)²=n² + 8n + 44-n²-12n-36
f(n)-(n+5)²=8-2n
* pour n>4
k² < (n+6)²
donc ∀n>4
①&②
(n+4)² < k² < (n+6)²
k=n+5
f(n)=n² + 8n + 44=(n+5)²
n² + 8n + 44=n²+10n+25
2n=19 ce qui est impossible.
▶️ ∀n>4 f(n) n’est pas un carré. 

il nous reste de tester les valeur 1,2,3,4.
n=1 f(1)=53.
n=2 f(2)=64=8²
n=3 f(3)=85.
n=4 f(4)=92.
▶️ la seule solution qui existe si n=2.

* on pose
f(n)=n² + 8n + 44
Raisonnement par l’absurde ↴
on suppose que: f(n)=k²
ona f(n)=(n+4)²+28
k² > (n+4)²
* f(n)-(n+6)²=n² + 8n + 44-n²-12n-36
f(n)-(n+5)²=8-2n
* pour n>4
k² < (n+6)²
donc ∀n>4
①&②
(n+4)² < k² < (n+6)²
k=n+5
f(n)=n² + 8n + 44=(n+5)²
n² + 8n + 44=n²+10n+25
2n=19 ce qui est impossible.
▶️ ∀n>4 f(n) n’est pas un carré. 

il nous reste de tester les valeur 1,2,3,4.
n=1 f(1)=53.
n=2 f(2)=64=8²
n=3 f(3)=85.
n=4 f(4)=92.
▶️ la seule solution qui existe si n=2.

Olympiade de Maths, c’est une gymnastique de l’esprit, Ce qu’il faut c’est 4math.net et beaucoup de pratiques
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