Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade de Math – Arithmétique Niveaux 01 – Exercice 10
Soit n ≥ 2 un entier.
Le plus petit diviseur ≥ 2 de n est un nombre premier.
Exemple : on prend n = 75, les diviseurs≥ 2 de n :
3; 5; 15; 25; 75.
3; 5; 15; 25; 75.
« 3 » Le plus petit de ces nombres qui est bien premier.
Solution
* Soit n∊IN tel que n≥2
*Soit p Le plus petit diviseur ≥ 2 de n.
Montrons que p est premier.
on a
p divise n
➝ p≥2
* Soit d est un diviseur ≥ 2 de p.
➝ d ≤ p ①
* on a d divise p et p divise n
➝ d divise n
* puisque p le plus petit de ces diviseurs
➝ d ≥ p ②
①&②
➡️ d=p
Ceci prouve que l’unique diviseur ≥ 2 de p est p lui-même, donc p est premier.
Olympiade de Maths, c’est une gymnastique de l’esprit, Ce qu’il faut c’est 4math.net et beaucoup de pratiques
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